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8. 如图所示,在平面直角坐标系中,直线$ y= mx+n 与抛物线 y= ax^{2}+bx+c(a\neq 0) 相交于 A(-1,p),B(2,q) $两点,则关于x的不等式$ mx+n ＞ ax^{2}+bx+c $的解集为(
A.$ x ＜ -1 $
B.$ x ＞ 2 $
C.$ -1 ＜ x ＜ 2 $
D.$ x ＜ -1 或 x ＞ 2 $
D
).A.$ x ＜ -1 $
B.$ x ＞ 2 $
C.$ -1 ＜ x ＜ 2 $
D.$ x ＜ -1 或 x ＞ 2 $
答案
【解析】：本题可根据一次函数与二次函数图象的交点坐标与不等式解集的关系来求解。
已知直线$y = mx + n$与抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq 0)$相交于$A(-1,p)$，$B(2,q)$两点。
要求不等式$mx + n\gt ax^{2}+bx + c$的解集，从函数图象的角度来看，$mx + n\gt ax^{2}+bx + c$表示直线$y = mx + n$的图象在抛物线$y = ax^{2}+bx + c$图象上方时$x$的取值范围。
观察图象可知，当$x\lt -1$或$x\gt 2$时，直线$y = mx + n$的图象在抛物线$y = ax^{2}+bx + c$图象的上方。
所以不等式$mx + n\gt ax^{2}+bx + c$的解集为$x\lt -1$或$x\gt 2$。
【答案】：D。
已知直线$y = mx + n$与抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq 0)$相交于$A(-1,p)$，$B(2,q)$两点。
要求不等式$mx + n\gt ax^{2}+bx + c$的解集，从函数图象的角度来看，$mx + n\gt ax^{2}+bx + c$表示直线$y = mx + n$的图象在抛物线$y = ax^{2}+bx + c$图象上方时$x$的取值范围。
观察图象可知，当$x\lt -1$或$x\gt 2$时，直线$y = mx + n$的图象在抛物线$y = ax^{2}+bx + c$图象的上方。
所以不等式$mx + n\gt ax^{2}+bx + c$的解集为$x\lt -1$或$x\gt 2$。
【答案】：D。
9. 二次函数$ y= ax^{2}+bx+c $的图象如图所示,则一次函数$ y= 2ax-b $的图象大致是(
B
).答案
解：由二次函数图象开口向下，得$a ＜ 0$。
对称轴在$y$轴左侧，即$-\frac{b}{2a} ＜ 0$，因$a ＜ 0$，故$b ＜ 0$。
一次函数$y = 2ax - b$中，$2a ＜ 0$，$-b ＞ 0$，所以函数图象过一、二、四象限。
答案：B
对称轴在$y$轴左侧，即$-\frac{b}{2a} ＜ 0$，因$a ＜ 0$，故$b ＜ 0$。
一次函数$y = 2ax - b$中，$2a ＜ 0$，$-b ＞ 0$，所以函数图象过一、二、四象限。
答案：B
10. 抛物线$ y= -x^{2}+kx+k-\frac{5}{4} $与x轴的一个交点为$ A(m,0) $,若$ -2\leqslant m\leqslant 1 $,则实数k的取值范围是(
A.$ -\frac{21}{4}\leqslant k\leqslant 1 $
B.$ k\leqslant -\frac{21}{4} 或 k\geqslant 1 $
C.$ -5\leqslant k\leqslant \frac{9}{8} $
D.$ k\leqslant -5 或 k\geqslant \frac{9}{8} $
B
).A.$ -\frac{21}{4}\leqslant k\leqslant 1 $
B.$ k\leqslant -\frac{21}{4} 或 k\geqslant 1 $
C.$ -5\leqslant k\leqslant \frac{9}{8} $
D.$ k\leqslant -5 或 k\geqslant \frac{9}{8} $
答案
解：因为抛物线$y = -x^{2}+kx + k-\frac{5}{4}$与$x$轴交于点$A(m,0)$，所以$-m^{2}+km + k-\frac{5}{4}=0$，整理得$k(m + 1)=m^{2}+\frac{5}{4}$。
当$m\neq - 1$时，$k=\frac{m^{2}+\frac{5}{4}}{m + 1}$，设$t=m + 1$，则$m=t - 1$，$t\in[-1,2]$且$t\neq0$。
$k=\frac{(t - 1)^{2}+\frac{5}{4}}{t}=\frac{t^{2}-2t + 1+\frac{5}{4}}{t}=\frac{t^{2}-2t+\frac{9}{4}}{t}=t+\frac{9}{4t}-2$。
当$t\in(0,2]$时，$t+\frac{9}{4t}\geq2\sqrt{t×\frac{9}{4t}}=3$（当且仅当$t=\frac{3}{2}$时取等号），所以$k\geq3 - 2=1$；当$t=\frac{3}{2}$时，$m=\frac{1}{2}$在$[-2,1]$内，此时$k=1$。
当$t\in[-1,0)$时，$-t\in(0,1]$，$-t+\frac{9}{-4t}\geq2\sqrt{(-t)×\frac{9}{-4t}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$t+\frac{9}{4t}=-\left(-t+\frac{9}{-4t}\right)\leq-\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$k\leq-\frac{3\sqrt{3}}{2}-2$，但当$t=-1$时，$m=-2$，$k=\frac{(-2)^{2}+\frac{5}{4}}{-2 + 1}=\frac{4+\frac{5}{4}}{-1}=-\frac{21}{4}$。
当$m=-1$时，代入方程得$-1 - k + k-\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}\neq0$，无交点。
又因为抛物线与$x$轴有交点，判别式$\Delta=k^{2}+4(k-\frac{5}{4})=k^{2}+4k - 5\geq0$，即$(k + 5)(k - 1)\geq0$，解得$k\leq - 5$或$k\geq1$。
结合$m\in[-2,1]$，当$k=-\frac{21}{4}$时，$m=-2$在范围内；当$k=1$时，$m=\frac{1}{2}$在范围内。
综上，$k\leq-\frac{21}{4}$或$k\geq1$。
答案：B
当$m\neq - 1$时，$k=\frac{m^{2}+\frac{5}{4}}{m + 1}$，设$t=m + 1$，则$m=t - 1$，$t\in[-1,2]$且$t\neq0$。
$k=\frac{(t - 1)^{2}+\frac{5}{4}}{t}=\frac{t^{2}-2t + 1+\frac{5}{4}}{t}=\frac{t^{2}-2t+\frac{9}{4}}{t}=t+\frac{9}{4t}-2$。
当$t\in(0,2]$时，$t+\frac{9}{4t}\geq2\sqrt{t×\frac{9}{4t}}=3$（当且仅当$t=\frac{3}{2}$时取等号），所以$k\geq3 - 2=1$；当$t=\frac{3}{2}$时，$m=\frac{1}{2}$在$[-2,1]$内，此时$k=1$。
当$t\in[-1,0)$时，$-t\in(0,1]$，$-t+\frac{9}{-4t}\geq2\sqrt{(-t)×\frac{9}{-4t}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$t+\frac{9}{4t}=-\left(-t+\frac{9}{-4t}\right)\leq-\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$k\leq-\frac{3\sqrt{3}}{2}-2$，但当$t=-1$时，$m=-2$，$k=\frac{(-2)^{2}+\frac{5}{4}}{-2 + 1}=\frac{4+\frac{5}{4}}{-1}=-\frac{21}{4}$。
当$m=-1$时，代入方程得$-1 - k + k-\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}\neq0$，无交点。
又因为抛物线与$x$轴有交点，判别式$\Delta=k^{2}+4(k-\frac{5}{4})=k^{2}+4k - 5\geq0$，即$(k + 5)(k - 1)\geq0$，解得$k\leq - 5$或$k\geq1$。
结合$m\in[-2,1]$，当$k=-\frac{21}{4}$时，$m=-2$在范围内；当$k=1$时，$m=\frac{1}{2}$在范围内。
综上，$k\leq-\frac{21}{4}$或$k\geq1$。
答案：B
11. 二次函数$ y= -x^{2}+2x+5 $的最大值为
6
.答案
解：$y=-x^{2}+2x+5$
$=-(x^{2}-2x)+5$
$=-(x^{2}-2x+1-1)+5$
$=-(x-1)^{2}+1+5$
$=-(x-1)^{2}+6$
因为$a=-1＜0$，抛物线开口向下，
所以当$x=1$时，$y$有最大值，最大值为$6$。
6
$=-(x^{2}-2x)+5$
$=-(x^{2}-2x+1-1)+5$
$=-(x-1)^{2}+1+5$
$=-(x-1)^{2}+6$
因为$a=-1＜0$，抛物线开口向下，
所以当$x=1$时，$y$有最大值，最大值为$6$。
6
12. 设二次函数$ y= ax^{2}+bx+c(a,b,c $是常数,$ a\neq 0) $,下表列出了x,y的部分对应值.
关于x的不等式$ ax^{2}+bx+c ＜ 0 $的解集是______
关于x的不等式$ ax^{2}+bx+c ＜ 0 $的解集是______
-6＜x＜2
.答案
解：由表可知，当$x=-5$和$x=1$时，$y=-2.79$，
$\therefore$二次函数的对称轴为直线$x=\frac{-5 + 1}{2}=-2$。
$\because$抛物线过点$(2,0)$，设抛物线与$x$轴的另一个交点为$(x,0)$，
则$\frac{x + 2}{2}=-2$，解得$x=-6$，
$\therefore$抛物线与$x$轴的交点为$(-6,0)$和$(2,0)$。
又$\because$当$x=-5$时，$y=-2.79\lt0$，
$\therefore$抛物线开口向上，
$\therefore$不等式$ax^{2}+bx + c\lt0$的解集是$-6\lt x\lt2$。
$-6\lt x\lt2$
$\therefore$二次函数的对称轴为直线$x=\frac{-5 + 1}{2}=-2$。
$\because$抛物线过点$(2,0)$，设抛物线与$x$轴的另一个交点为$(x,0)$，
则$\frac{x + 2}{2}=-2$，解得$x=-6$，
$\therefore$抛物线与$x$轴的交点为$(-6,0)$和$(2,0)$。
又$\because$当$x=-5$时，$y=-2.79\lt0$，
$\therefore$抛物线开口向上，
$\therefore$不等式$ax^{2}+bx + c\lt0$的解集是$-6\lt x\lt2$。
$-6\lt x\lt2$
