7. 如图,二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴的负半轴相交于 $ A,B $ 两点,$ Q(m,\sqrt{3}) $ 是该二次函数的图象上的一点,且 $ \triangle ABQ $ 为等边三角形,则 $ a $ 的值为()

A.$ -\frac{\sqrt{3}}{3} $
B.$ -\frac{\sqrt{3}}{2} $
C.$ -1 $
D.$ -\sqrt{3} $

D

设A(x₁,0)，B(x₂,0)，AB为等边三角形△ABQ的底边，Q(m,√3)。
∵AB在x轴上，Q纵坐标为√3，∴等边三角形高h=√3，由h=(√3/2)s（s为边长）得s=2，即AB=2。
Q在AB垂直平分线上，∴m=(x₁+x₂)/2（AB中点横坐标）。
设二次函数交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)，代入Q点：√3=a[(m-x₁)(m-x₂)]。
∵m-x₁=(x₂-x₁)/2=1，m-x₂=(x₁-x₂)/2=-1，∴(m-x₁)(m-x₂)=-1。
则√3=a(-1)，解得a=-√3。

8. 如图,二次函数 $ y = mx^{2} - 4mx + 3m(m ＞ 0) $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,连接 $ AC,BC $,若 $ CA $ 平分 $ \angle OCB $,则 $ m $ 的值为 。

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

1. 求二次函数与x轴交点：令$ y=0 $，得$ mx^2 - 4mx + 3m=0 $，因$ m＞0 $，化简为$ x^2 - 4x + 3=0 $，解得$ x=1 $或$ x=3 $，故$ A(1,0) $，$ B(3,0) $。
2. 求与y轴交点：令$ x=0 $，得$ y=3m $，故$ C(0,3m) $。
3. 由CA平分$ \angle OCB $，根据角平分线性质，点A到OC（y轴）的距离等于点A到BC的距离。
点A到OC距离为$ OA=1 $。
直线BC：过$ B(3,0) $，$ C(0,3m) $，方程为$ y=-mx + 3m $，即$ mx + y - 3m=0 $。
点A到BC距离：$ \frac{|m\cdot1 + 0 - 3m|}{\sqrt{m^2 + 1}}=\frac{2m}{\sqrt{m^2 + 1}} $。
4. 令距离相等：$ \frac{2m}{\sqrt{m^2 + 1}}=1 $，解得$ m=\frac{\sqrt{3}}{3} $（$ m＞0 $）。

练习 已知二次函数 $ y = x^{2} + 2x $,当 $ 1 \leq x \leq 4 $ 时,$ y $ 的最小值是,最大值是。

最小值为3，最大值为24。（按照题目要求，应分别填写在空白处，由于题目要求答案填ABCD等格式但本题为填空，因此直接给出数值答案）
即：$3$；$24$。

二次函数 $y = x^{2} + 2x$ 可以转化为顶点式形式 $y = (x + 1)^{2} - 1$，由此可知，该函数的对称轴是 $x = -1$，并且由于二次项系数为正，所以函数开口向上。
在区间 $1 \leq x \leq 4$ 上，由于函数开口向上且对称轴在此区间的左侧，函数值会随着$x$的增大而增大，所以函数在区间的左端点取得最小值，右端点取得最大值。
当 $x = 1$ 时，$y = (1 + 1)^{2} - 1 = 3$；
当 $x = 4$ 时，$y = (4 + 1)^{2} - 1 = 24$。
因此，在区间 $1 \leq x \leq 4$ 上，函数的最小值为 3，最大值为 24。

例 1 某社区决定把一块长 60 米,宽 30 米的矩形空地建成健身广场,设计方案如图所示,阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的矩形),空白区域为活动区,且广场四周的 4 个出口宽度相同,其宽度不小于 12 米,不大于 24 米,设绿化区较长边为 $ x $ 米,活动区的面积为 $ y $ 平方米。
(1) 用含 $ x $ 的式子表示：每个出口的宽度为米,每块绿化区较短边长为米；$ y $ 与 $ x $ 的函数关系式是。
(2) 当出口的宽为多少时,活动区所占面积最大？最大面积是多少？

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(2) 由12≤60 - 2x≤24，得18≤x≤24。y=-4x² + 60x + 1800对称轴为x=7.5，在18≤x≤24上y随x增大而减小。当x=18时，出口宽a=60 - 2×18=24米，y最大=-4×18² + 60×18 + 1800=1584平方米。
答：当出口宽为24米时，活动区面积最大，最大面积1584平方米。

(1) 60 - 2x；x - 15；y=-4x² + 60x + 1800
(2) 由12≤60 - 2x≤24，得18≤x≤24。y=-4x² + 60x + 1800对称轴为x=7.5，在18≤x≤24上y随x增大而减小。当x=18时，出口宽a=60 - 2×18=24米，y最大=-4×18² + 60×18 + 1800=1584平方米。
答：当出口宽为24米时，活动区面积最大，最大面积1584平方米。