6. 如图,将等边三角形 ABC 绕点 C 顺时针旋转 120°得到△EDC,连接 AD,BD.有下列结论：①AC= AD；②BD⊥AC；③四边形 ACED 是菱形.其中正确结论的个数是()

A.0
B.1
C.2
D.3

D

7. 如图,直线 l 是正方形的一条对称轴,直线 l 与 AB,CD 分别交于点 M,N.AN,BC 的延长线相交于点 P,连接 BN.下列三角形中,与△NCP 成中心对称的是()

A.△NCB
B.△BMN
C.△AMN
D.△NDA

D

设正方形中心在原点，对称轴$l$为$y$轴，顶点坐标：$A(-a,a)$，$B(a,a)$，$C(a,-a)$，$D(-a,-a)$，则$M(0,a)$（$AB$中点），$N(0,-a)$（$CD$中点）。直线$AN$：过$A(-a,a)$，$N(0,-a)$，方程为$y=-2x - a$。$BC$延长线为$x=a$，与$AN$交于$P(a,-3a)$。$\triangle NCP$顶点：$N(0,-a)$，$C(a,-a)$，$P(a,-3a)$。$\triangle NDA$顶点：$N(0,-a)$，$D(-a,-a)$，$A(-a,a)$。
$\triangle NCP$绕$N$旋转$180°$：$C(a,-a)$对应$D(-a,-a)$，$P(a,-3a)$对应$A(-a,a)$，$N$对应自身，故$\triangle NCP$与$\triangle NDA$成中心对称。

8. 如图,四边形 ABCD 是边长为 5 的正方形,E 是 DC 上一点,DE= 1.将△ADE 绕点 A 顺时针旋转一定角度,并与△ABF 重合,则 EF 的长为()

A.√41
B.√42
C.5√2
D.2√13

D

∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=5，∠DAB=∠D=∠ABC=90°。
∵△ADE绕点A顺时针旋转后与△ABF重合，∴△ADE≌△ABF。
∴DE=BF=1，∠DAE=∠BAF，AD=AB=5。
∵∠DAB=90°，∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=∠DAB=90°。
∵BC=5，BF=1，∴FC=BC+BF=5+1=6。
∵DC=5，DE=1，∴EC=DC-DE=5-1=4。
在Rt△ECF中，EF=√(EC²+FC²)=√(4²+6²)=√52=2√13。

9. 如图,在△AOB 中,∠ABO= 90°,点 B 在 x 轴上,点 A 的坐标为(2,2).将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 15°,此时点 A 的对应点的坐标是()

A.(√2,√6)
B.(√6,√2)
C.(√3,2√3)
D.(1,√3)

A

∵点A(2,2)，∴OA=√(2²+2²)=2√2，OA与x轴正方向夹角为45°（tanθ=2/2=1，θ=45°）。将OA绕O逆时针旋转15°，则OA'与x轴正方向夹角为45°+15°=60°，且OA'=OA=2√2。∴A'的横坐标x=OA'·cos60°=2√2×1/2=√2，纵坐标y=OA'·sin60°=2√2×√3/2=√6，即A'(√2,√6)。

10. 如图,△OAB 三个顶点的坐标分别为 O(0,0),A(-3,4),B(3,4).将△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转,每次旋转 90°,则第 70 次旋转结束时,点 D 的坐标为()

A.(3,-10)
B.(-3,10)
C.(10,3)
D.(-10,-3)

1. 首先，求点$D$的初始坐标：
已知$A(-3,4)$，$B(3,4)$，因为四边形$ABCD$是正方形，$AB = 3-(-3)=6$，所以$AD = AB = 6$。
点$D$的坐标为$(-3,4 + 6)=(-3,10)$。
2. 然后，分析旋转规律：
因为每次旋转$90^{\circ}$，旋转$4$次为一个循环。
计算$70÷4$：
根据除法运算$70 = 4×17+2$。
这意味着第$70$次旋转结束时的位置与第$2$次旋转结束时的位置相同。
第$1$次旋转$90^{\circ}$后，点$(x,y)$旋转到$(y,-x)$；第$2$次旋转$90^{\circ}$（即总共旋转$180^{\circ}$）后，点$(x,y)$旋转到$(-x,-y)$。
对于点$D(-3,10)$，绕点$O$顺时针旋转$180^{\circ}$，根据旋转坐标变化公式$(x,y)\to(-x,-y)$。
当$x=-3$，$y = 10$时，旋转后的坐标为$(3,-10)$。
所以第$70$次旋转结束时，点$D$的坐标为$(3,-10)$，答案是A。