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1. 解方程$2(5x-1)^{2}= 3(5x-1)$的最适当的方法是(
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法
D
)A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法
答案
D
解析
方程两边都含有公因式(5x-1)，移项得2(5x-1)² - 3(5x-1)=0，提取公因式(5x-1)得(5x-1)[2(5x-1)-3]=0，可转化为两个一元一次方程求解，故最适当的方法是因式分解法。
2. 方程$x^{2}+x-12= 0$的两个根为(
A.$x_{1}= -2,x_{2}= 6$
B.$x_{1}= -6,x_{2}= 2$
C.$x_{1}= -3,x_{2}= 4$
D.$x_{1}= -4,x_{2}= 3$
D
)A.$x_{1}= -2,x_{2}= 6$
B.$x_{1}= -6,x_{2}= 2$
C.$x_{1}= -3,x_{2}= 4$
D.$x_{1}= -4,x_{2}= 3$
答案
D
解析
对于方程 $x^{2} + x - 12 = 0$，需要找到两个数 $m$ 和 $n$，使得 $m × n = -12$，且 $m + n = 1$（因为二次项系数为1）。
通过尝试和检验，可以找到这样两个数为 $m = 4$ 和 $n = -3$，因为 $4 × (-3) = -12$ 且 $4 + (-3) = 1$。
因此，方程可以分解为 $(x + 4)(x - 3) = 0$。
根据因式分解后的表达式，可以得到方程的两个根为 $x_1 = -4$ 和 $x_2 = 3$。
通过尝试和检验，可以找到这样两个数为 $m = 4$ 和 $n = -3$，因为 $4 × (-3) = -12$ 且 $4 + (-3) = 1$。
因此，方程可以分解为 $(x + 4)(x - 3) = 0$。
根据因式分解后的表达式，可以得到方程的两个根为 $x_1 = -4$ 和 $x_2 = 3$。
3. 一元二次方程$x(x-2)= x-2$的解是(
A.$x_{1}= x_{2}= 0$
B.$x_{1}= x_{2}= 2$
C.$x_{1}= 0,x_{2}= 2$
D.$x_{1}= 1,x_{2}= 2$
D
)A.$x_{1}= x_{2}= 0$
B.$x_{1}= x_{2}= 2$
C.$x_{1}= 0,x_{2}= 2$
D.$x_{1}= 1,x_{2}= 2$
答案
D
解析
首先，将方程 $x(x-2) = x-2$ 改写为标准形式：
$x(x-2) - (x-2) = 0$，
接着，对方程左边进行因式分解，提取公因式 $(x-2)$：
$(x-2)(x-1) = 0$，
由此，可以得到两个方程：
$x-2 = 0$ 或 $x-1 = 0$，
分别解这两个方程，得到：
$x_1 = 2$ 和 $x_2 = 1$（该方程另一个解为$x=1$，无需再求$x=2$以外的重根）。
$x(x-2) - (x-2) = 0$，
接着，对方程左边进行因式分解，提取公因式 $(x-2)$：
$(x-2)(x-1) = 0$，
由此，可以得到两个方程：
$x-2 = 0$ 或 $x-1 = 0$，
分别解这两个方程，得到：
$x_1 = 2$ 和 $x_2 = 1$（该方程另一个解为$x=1$，无需再求$x=2$以外的重根）。
4. 已知$x^{2}-5xy-6y^{2}= 0(y≠0且x≠0)$,则$\frac{x}{y}$的值为(
A.6
B.-1
C.1或-6
D.-1或6
D
)A.6
B.-1
C.1或-6
D.-1或6
答案
D
解析
将方程 $x^{2} - 5xy - 6y^{2} = 0$ 两边同时除以 $y^{2}$（$y \neq 0$），得到：$\left(\frac{x}{y}\right)^{2} - 5\left(\frac{x}{y}\right) - 6 = 0$。
设 $k = \frac{x}{y}$，则方程变为：$k^{2} - 5k - 6 = 0$。
因式分解得：$(k - 6)(k + 1) = 0$。
解得：$k = 6 \quad 或 \quad k = -1$。
因此，$\frac{x}{y}$ 的值为 $-1$ 或 $6$。
设 $k = \frac{x}{y}$，则方程变为：$k^{2} - 5k - 6 = 0$。
因式分解得：$(k - 6)(k + 1) = 0$。
解得：$k = 6 \quad 或 \quad k = -1$。
因此，$\frac{x}{y}$ 的值为 $-1$ 或 $6$。
5. 一元二次方程$x^{2}= -4x$的根为
$x_{1}=0$，$x_{2}=-4$
.答案
$x_{1}=0$，$x_{2}=-4$
解析
移项得$x^{2}+4x=0$，因式分解得$x(x+4)=0$，则$x=0$或$x+4=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-4$。
6. 一元二次方程$(x-2)(x+7)= 0$的根是
$x_{1} = - 7$，$x_{2} = 2$（或 $x_{1} = 2$，$x_{2} = - 7$）
.答案
$x_{1} = - 7$，$x_{2} = 2$（或 $x_{1} = 2$，$x_{2} = - 7$）
解析
根据因式分解法，若两个数的乘积为0，则至少有一个数为0。
由方程$(x-2)(x+7)= 0$，可以得到两个方程：
$x - 2 = 0$，解得$x = 2$；
$x + 7 = 0$，解得$x = -7$。
所以，方程$(x-2)(x+7)= 0$的根为$x = 2$和$x = -7$。
由方程$(x-2)(x+7)= 0$，可以得到两个方程：
$x - 2 = 0$，解得$x = 2$；
$x + 7 = 0$，解得$x = -7$。
所以，方程$(x-2)(x+7)= 0$的根为$x = 2$和$x = -7$。
7. 如图,把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积扩大了一倍,则小圆形场地的半径为
$5 + 5\sqrt{2}$
m.答案
$5 + 5\sqrt{2}$
解析
设小圆形场地的半径为$x$m，大圆形场地的半径为$(x + 5)$m。根据题意，$\pi(x + 5)^2 = 2\pi x^2$，两边同时除以$\pi$得$(x + 5)^2 = 2x^2$，展开得$x^2 + 10x + 25 = 2x^2$，移项整理得$x^2 - 10x - 25 = 0$，配方得$(x - 5)^2 = 50$，解得$x_1 = 5 + 5\sqrt{2}$，$x_2 = 5 - 5\sqrt{2}$（舍去），故小圆形场地的半径为$5 + 5\sqrt{2}$m。
8. 若等腰三角形的两边长分别是关于x的方程$x^{2}-10x+21= 0$的两个根,则这个三角形的周长为
17
.答案
17（填写周长数值即可）
解析
首先解方程$x^{2} - 10x + 21 = 0$。
因式分解得：$(x - 3)(x - 7) = 0$，
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = 7$。
考虑等腰三角形的可能边长组合：
当等腰三角形的腰长为$3$时，其边长组合为$3$，$3$，$7$。但由于$3 + 3 ＜ 7$，不满足三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，所以这种情况应舍去。
当等腰三角形的腰长为$7$时，其边长组合为$7$，$7$，$3$。这满足三角形的三边关系，因为$7 + 7 ＞ 3$，$7 + 3 ＞ 7$和$7+3＞3$都成立。
因此，等腰三角形的边长为$7$，$7$，$3$，其周长为$7 + 7 + 3 = 17$。
因式分解得：$(x - 3)(x - 7) = 0$，
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = 7$。
考虑等腰三角形的可能边长组合：
当等腰三角形的腰长为$3$时，其边长组合为$3$，$3$，$7$。但由于$3 + 3 ＜ 7$，不满足三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，所以这种情况应舍去。
当等腰三角形的腰长为$7$时，其边长组合为$7$，$7$，$3$。这满足三角形的三边关系，因为$7 + 7 ＞ 3$，$7 + 3 ＞ 7$和$7+3＞3$都成立。
因此，等腰三角形的边长为$7$，$7$，$3$，其周长为$7 + 7 + 3 = 17$。
