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7. 若关于$x的分式方程\frac{m-1}{x-1}= 2$的解为非负数,则$m$的取值范围是(
A.$m ＞ -1$
B.$m\geq -1$
C.$m ＞ -1且m\neq 1$
D.$m\geq -1且m\neq 1$
D
)A.$m ＞ -1$
B.$m\geq -1$
C.$m ＞ -1且m\neq 1$
D.$m\geq -1且m\neq 1$
答案
D
解析
去分母得：$m - 1 = 2(x - 1)$，
解得：$x = \frac{m + 1}{2}$，
因为方程的解为非负数，所以$\frac{m + 1}{2} \geq 0$，解得$m \geq -1$，
又因为分母不能为$0$，即$x - 1 \neq 0$，$\frac{m + 1}{2} - 1 \neq 0$，解得$m \neq 1$，
综上，$m$的取值范围是$m\geq -1$且$m\neq 1$。
D
解得：$x = \frac{m + 1}{2}$，
因为方程的解为非负数，所以$\frac{m + 1}{2} \geq 0$，解得$m \geq -1$，
又因为分母不能为$0$，即$x - 1 \neq 0$，$\frac{m + 1}{2} - 1 \neq 0$，解得$m \neq 1$，
综上，$m$的取值范围是$m\geq -1$且$m\neq 1$。
D
8. 已知两个不为 0 的实数$a$,$b满足a + b= 0$,则$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值为(
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
A
)A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
答案
A
解析
解：因为$a + b = 0$，所以$b=-a$。
则$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{-a}{a}+\frac{a}{-a}=-1 + (-1)=-2$。
A
则$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{-a}{a}+\frac{a}{-a}=-1 + (-1)=-2$。
A
9. 某校计划投资 8000 元建设几间直播教室,为了保证教学质量,实际每间的建设费用增加了 20%,并比原计划多建设了一间直播教室,总投资追加了 4000 元.原计划每间直播教室的建设费用是(
A.1600 元
B.1800 元
C.2000 元
D.2400 元
C
)A.1600 元
B.1800 元
C.2000 元
D.2400 元
答案
C
解析
设原计划每间直播教室的建设费用是$x$元。
原计划建设的教室数量为$\frac{8000}{x}$间。
实际每间建设费用为$(1 + 20\%)x = 1.2x$元，总投资为$8000 + 4000 = 12000$元，实际建设的教室数量为$\frac{12000}{1.2x}$间。
根据实际比原计划多建设一间，可列方程：$\frac{12000}{1.2x}-\frac{8000}{x}=1$
化简方程：$\frac{10000}{x}-\frac{8000}{x}=1$
$\frac{2000}{x}=1$
解得$x = 2000$
经检验，$x = 2000$是原方程的解，且符合题意。
C
原计划建设的教室数量为$\frac{8000}{x}$间。
实际每间建设费用为$(1 + 20\%)x = 1.2x$元，总投资为$8000 + 4000 = 12000$元，实际建设的教室数量为$\frac{12000}{1.2x}$间。
根据实际比原计划多建设一间，可列方程：$\frac{12000}{1.2x}-\frac{8000}{x}=1$
化简方程：$\frac{10000}{x}-\frac{8000}{x}=1$
$\frac{2000}{x}=1$
解得$x = 2000$
经检验，$x = 2000$是原方程的解，且符合题意。
C
10. 已知关于$x的分式方程\frac{x + 2a}{x - 1}+\frac{3x - 8}{1 - x}= 2$的解是正整数,且$x ＜ 7$,则所有满足条件的整数$a$的值之和是(
A.5
B.8
C.12
D.15
D
)A.5
B.8
C.12
D.15
答案
D
解析
方程两边同乘$(x - 1)$，得$x + 2a - (3x - 8) = 2(x - 1)$
去括号，得$x + 2a - 3x + 8 = 2x - 2$
移项、合并同类项，得$-4x = -10 - 2a$
解得$x = \frac{5 + a}{2}$
因为分式方程的解是正整数，且$x \neq 1$，$x ＜ 7$
所以$\frac{5 + a}{2}$是正整数，$\frac{5 + a}{2} \neq 1$，$\frac{5 + a}{2} ＜ 7$
即$5 + a$是正偶数，$5 + a \neq 2$，$5 + a ＜ 14$
所以$5 + a = 4, 6, 8, 10, 12$
则$a = -1, 1, 3, 5, 7$
所有满足条件的整数$a$的值之和为$-1 + 1 + 3 + 5 + 7 = 15$
D
去括号，得$x + 2a - 3x + 8 = 2x - 2$
移项、合并同类项，得$-4x = -10 - 2a$
解得$x = \frac{5 + a}{2}$
因为分式方程的解是正整数，且$x \neq 1$，$x ＜ 7$
所以$\frac{5 + a}{2}$是正整数，$\frac{5 + a}{2} \neq 1$，$\frac{5 + a}{2} ＜ 7$
即$5 + a$是正偶数，$5 + a \neq 2$，$5 + a ＜ 14$
所以$5 + a = 4, 6, 8, 10, 12$
则$a = -1, 1, 3, 5, 7$
所有满足条件的整数$a$的值之和为$-1 + 1 + 3 + 5 + 7 = 15$
D
11. 计算$\left(-\frac{a}{2b}\right)^{3}$的结果是
$-\frac{a^{3}}{8b^{3}}$
.答案
$-\frac{a^{3}}{8b^{3}}$
解析
$\left(-\frac{a}{2b}\right)^{3}=-\frac{a^{3}}{(2b)^{3}}=-\frac{a^{3}}{8b^{3}}$
12. 已知$x= -2是关于x的分式方程\frac{x - k}{x + 3}= 2x$的解,则实数$k$的值为
2
.答案
2
解析
将$x = -2$代入分式方程$\frac{x - k}{x + 3}= 2x$，得$\frac{-2 - k}{-2 + 3}= 2×(-2)$，化简得$-2 - k = -4$，解得$k = 2$。
2
2
13. 已知$\frac{x}{6}= \frac{y}{4}= \frac{z}{3}$($x$,$y$,$z$均不为零),则$\frac{x + 3y}{3y - 2z}$的值为
3
.答案
3
解析
设$\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3} = k$（$k \neq 0$），则$x = 6k$，$y = 4k$，$z = 3k$。
$\frac{x + 3y}{3y - 2z} = \frac{6k + 3 × 4k}{3 × 4k - 2 × 3k} = \frac{6k + 12k}{12k - 6k} = \frac{18k}{6k} = 3$
3
$\frac{x + 3y}{3y - 2z} = \frac{6k + 3 × 4k}{3 × 4k - 2 × 3k} = \frac{6k + 12k}{12k - 6k} = \frac{18k}{6k} = 3$
3
14. 若关于$x的分式方程\frac{3x}{x - 2}= \frac{m + 3}{x - 2}+1$无解,则$m$的值为
3
.答案
3
解析
方程两边同乘$(x - 2)$，得$3x = m + 3 + x - 2$。
化简得$2x = m + 1$，解得$x = \frac{m + 1}{2}$。
因为分式方程无解，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。
将$x = 2$代入$x = \frac{m + 1}{2}$，得$2 = \frac{m + 1}{2}$，解得$m = 3$。
3
化简得$2x = m + 1$，解得$x = \frac{m + 1}{2}$。
因为分式方程无解，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。
将$x = 2$代入$x = \frac{m + 1}{2}$，得$2 = \frac{m + 1}{2}$，解得$m = 3$。
3
15. 小刚同学不小心弄污了练习本上的一道题,这道题是“化简$\frac{x^{2}}{x^{2}-1}÷\left(\frac{x}{◆}\right)$”,其中◆处被弄污了,但他知道这道题的化简结果是$\frac{x + 1}{x - 1}$,则◆处的式子为______
$\frac{(x + 1)^{2}}{x}$
.答案
$\frac{(x + 1)^{2}}{x}$
解析
设◆处的式子为$A$。
$\begin{aligned}\frac{x^{2}}{x^{2}-1}÷\left(\frac{x}{A}\right)&=\frac{x^{2}}{(x + 1)(x - 1)}×\frac{A}{x}\\&=\frac{x A}{(x + 1)(x - 1)}\end{aligned}$
已知化简结果为$\frac{x + 1}{x - 1}$，则：
$\frac{x A}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x + 1}{x - 1}$
$x A=(x + 1)^{2}$
$A=\frac{(x + 1)^{2}}{x}$
$\frac{(x + 1)^{2}}{x}$
$\begin{aligned}\frac{x^{2}}{x^{2}-1}÷\left(\frac{x}{A}\right)&=\frac{x^{2}}{(x + 1)(x - 1)}×\frac{A}{x}\\&=\frac{x A}{(x + 1)(x - 1)}\end{aligned}$
已知化简结果为$\frac{x + 1}{x - 1}$，则：
$\frac{x A}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x + 1}{x - 1}$
$x A=(x + 1)^{2}$
$A=\frac{(x + 1)^{2}}{x}$
$\frac{(x + 1)^{2}}{x}$
