1. 下列运算正确的是()

A.$\frac{a}{a - b} - \frac{b}{b - a} = 1$
B.$\frac{a}{ab} - \frac{a - b}{ab} = -\frac{1}{a}$
C.$\frac{a^2}{a - b} - \frac{b^2}{a - b} = a - b$
D.$\frac{2}{a - b} - \frac{a + b}{a^2 - b^2} = \frac{1}{a - b}$

D

A. $\frac{a}{a - b} - \frac{b}{b - a} = \frac{a}{a - b} + \frac{b}{a - b} = \frac{a + b}{a - b} \neq 1$
B. $\frac{a}{ab} - \frac{a - b}{ab} = \frac{a - (a - b)}{ab} = \frac{b}{ab} = \frac{1}{a} \neq -\frac{1}{a}$
C. $\frac{a^2}{a - b} - \frac{b^2}{a - b} = \frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b \neq a - b$
D. $\frac{2}{a - b} - \frac{a + b}{a^2 - b^2} = \frac{2}{a - b} - \frac{1}{a - b} = \frac{1}{a - b}$
正确答案：D

2. 计算：$\frac{m + 2}{m - 2} - \frac{5}{m + 2} = $.

$\frac{m^{2}-m+14}{m^{2}-4}$

$\frac{(m+2)^2 - 5(m - 2)}{(m - 2)(m + 2)}$
$=\frac{m^2 + 4m + 4 - 5m + 10}{m^2 - 4}$
$=\frac{m^2 - m + 14}{m^2 - 4}$

3. 化简：$\frac{9a^2}{3a - 1} + \frac{1}{1 - 3a}$.

解:原式=$\frac{9a^{2}}{3a-1}-\frac{1}{3a-1}$=$\frac{9a^{2}-1}{3a-1}$=$\frac{(3a+1)(3a-1)}{3a-1}$=3a+1.

题型1 计算：$\frac{3x + y}{2x - 3y} - \frac{x + 4y}{2x - 3y}$.
解：
根据同分母分式的减法法则：$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a - b}{c}$（$c\neq0$）。
对于$\frac{3x + y}{2x - 3y}-\frac{x + 4y}{2x - 3y}$，这里$c = 2x-3y$，$a=3x + y$，$b=x + 4y$。
则$\frac{3x + y-(x + 4y)}{2x - 3y}$
去括号得：$\frac{3x + y-x - 4y}{2x - 3y}$
合并同类项得：$\frac{(3x-x)+(y - 4y)}{2x - 3y}=\frac{2x-3y}{2x - 3y}$
因为$2x-3y\neq0$（分母不为$0$），所以$\frac{2x-3y}{2x - 3y}=1$。

题型1
解：
根据同分母分式的减法法则：$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a - b}{c}$（$c\neq0$）。
对于$\frac{3x + y}{2x - 3y}-\frac{x + 4y}{2x - 3y}$，这里$c = 2x-3y$，$a=3x + y$，$b=x + 4y$。
则$\frac{3x + y-(x + 4y)}{2x - 3y}$
去括号得：$\frac{3x + y-x - 4y}{2x - 3y}$
合并同类项得：$\frac{(3x-x)+(y - 4y)}{2x - 3y}=\frac{2x-3y}{2x - 3y}$
因为$2x-3y\neq0$（分母不为$0$），所以$\frac{2x-3y}{2x - 3y}=1$。
题型2
解：
先将$a - b$通分，$a - b=\frac{(a - b)(a + b)}{a + b}$。
根据平方差公式$(m-n)(m + n)=m^{2}-n^{2}$，这里$m=a$，$n = b$，则$\frac{(a - b)(a + b)}{a + b}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}$。
所以$a - b+\frac{2b^{2}}{a + b}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}+\frac{2b^{2}}{a + b}$。
根据同分母分式加法法则$\frac{m}{c}+\frac{n}{c}=\frac{m + n}{c}$（$c\neq0$），这里$m=a^{2}-b^{2}$，$n = 2b^{2}$，$c=a + b$。
则$\frac{a^{2}-b^{2}+2b^{2}}{a + b}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a + b}$。
所以答案是C。
题型3
解：
对$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$进行通分，根据通分公式$\frac{m}{c}-\frac{n}{c}=\frac{m - n}{c}$（$c\neq0$），这里$m = b$，$n=a$，$c=ab$。
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b - a}{ab}$。
已知$a - b=ab$，则$b - a=-ab$。
将$b - a=-ab$代入$\frac{b - a}{ab}$得：$\frac{-ab}{ab}=-1$。
所以答案是C。

题型2 计算$a - b + \frac{2b^2}{a + b}$的结果为( )
A.$\frac{a - b + 2b^2}{a + b}$
B.$a + b$
C.$\frac{a^2 + b^2}{a + b}$
D.$a - b$

解：
$\begin{aligned}a - b + \frac{2b^2}{a + b}&=\frac{(a - b)(a + b)}{a + b}+\frac{2b^2}{a + b}\\&=\frac{a^2 - b^2 + 2b^2}{a + b}\\&=\frac{a^2 + b^2}{a + b}\end{aligned}$
所以答案是C。

题型3 若$a - b = ab$,则分式$\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$的值是( )
A.$\frac{1}{ab}$
B.$0$
C.$-1$
D.$1$

解：对$\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$进行通分可得$\frac{b - a}{ab}$。
已知$a - b = ab$，则$b - a = -ab$。
将$b - a = -ab$代入$\frac{b - a}{ab}$可得：$\frac{-ab}{ab}=-1$。
所以$\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$的值是$-1$，答案选C。