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4. 分式$-\frac{75a^{2}b^{3}c}{25b^{2}cd}$的分子、分母中都有的因式是
$25b^{2}c$
,约分后是$-\frac{3a^{2}b}{d}$
。答案
$25b^{2}c$ $-\frac{3a^{2}b}{d}$
5. 把下列各式约分：
(1)$\frac{-36xy^{2}z^{3}}{6yz}$；(2)$\frac{2(x - y)^{2}}{6(y - x)^{2}}$；
(3)$\frac{x^{4}-1}{1 - x^{2}}$；(4)$\frac{x^{3}-2x^{2}y}{x^{2}y - 2xy^{2}}$。
(1)$\frac{-36xy^{2}z^{3}}{6yz}$；(2)$\frac{2(x - y)^{2}}{6(y - x)^{2}}$；
(3)$\frac{x^{4}-1}{1 - x^{2}}$；(4)$\frac{x^{3}-2x^{2}y}{x^{2}y - 2xy^{2}}$。
答案
解:
(1)原式$=-\frac{6yz\cdot 6xyz^{2}}{6yz}=-6xyz^{2}$.
(2)原式$=\frac{2(x-y)^{2}}{6(x-y)^{2}}=\frac{1}{3}$.
(3)原式$=\frac{(x^{2}+1)(x^{2}-1)}{1-x^{2}}=-x^{2}-1$.
(4)原式$=\frac{x^{2}(x-2y)}{xy(x-2y)}=\frac{x}{y}$.
(1)原式$=-\frac{6yz\cdot 6xyz^{2}}{6yz}=-6xyz^{2}$.
(2)原式$=\frac{2(x-y)^{2}}{6(x-y)^{2}}=\frac{1}{3}$.
(3)原式$=\frac{(x^{2}+1)(x^{2}-1)}{1-x^{2}}=-x^{2}-1$.
(4)原式$=\frac{x^{2}(x-2y)}{xy(x-2y)}=\frac{x}{y}$.
6. 下列约分正确的是(
A.$\frac{a + c}{b + c}= \frac{a}{b}$
B.$\frac{x - y}{x^{2}-y^{2}}= \frac{1}{x + y}$
C.$\frac{m + n}{m + n}= 0$
D.$\frac{x^{2}-2x + 1}{1 - x^{2}}= \frac{x - 1}{x + 1}$
B
)A.$\frac{a + c}{b + c}= \frac{a}{b}$
B.$\frac{x - y}{x^{2}-y^{2}}= \frac{1}{x + y}$
C.$\frac{m + n}{m + n}= 0$
D.$\frac{x^{2}-2x + 1}{1 - x^{2}}= \frac{x - 1}{x + 1}$
答案
B
解析
A.$\frac{a + c}{b + c}$不能约分，故A错误；
B.$\frac{x - y}{x^{2}-y^{2}}=\frac{x - y}{(x - y)(x + y)}=\frac{1}{x + y}$，故B正确；
C.$\frac{m + n}{m + n}=1$，故C错误；
D.$\frac{x^{2}-2x + 1}{1 - x^{2}}=\frac{(x - 1)^{2}}{-(x^{2}-1)}=\frac{(x - 1)^{2}}{-(x - 1)(x + 1)}=-\frac{x - 1}{x + 1}$，故D错误。
结论：B
B.$\frac{x - y}{x^{2}-y^{2}}=\frac{x - y}{(x - y)(x + y)}=\frac{1}{x + y}$，故B正确；
C.$\frac{m + n}{m + n}=1$，故C错误；
D.$\frac{x^{2}-2x + 1}{1 - x^{2}}=\frac{(x - 1)^{2}}{-(x^{2}-1)}=\frac{(x - 1)^{2}}{-(x - 1)(x + 1)}=-\frac{x - 1}{x + 1}$，故D错误。
结论：B
7. 若将分式$\frac{3x^{2}}{x^{2}-y^{2}}与分式\frac{x}{2(x - y)}$通分后,分式$\frac{x}{2(x - y)}的分母变为2(x - y)(x + y)$,则分式$\frac{3x^{2}}{x^{2}-y^{2}}$的分子应变为(
A.$6x^{2}(x - y)^{2}$
B.$2(x - y)$
C.$6x^{2}$
D.$6x^{2}(x + y)$
C
)A.$6x^{2}(x - y)^{2}$
B.$2(x - y)$
C.$6x^{2}$
D.$6x^{2}(x + y)$
答案
C
解析
$\frac{3x^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{3x^{2}}{(x-y)(x+y)}$，通分后分母变为$2(x-y)(x+y)$，需分子分母同乘$2$，则分子变为$3x^{2}×2=6x^{2}$。
C
C
8. 已知非零实数$x$,$y满足y= \frac{x}{x + 1}$,则$\frac{x - y + 3xy}{xy}$的值等于
4
。答案
4 提示:由$y=\frac{x}{x+1}$,得$xy+y=x$,
$\therefore x-y=xy$,
$\therefore$原式$=\frac{xy+3xy}{xy}=\frac{4xy}{xy}=4$.
故答案为4.
$\therefore x-y=xy$,
$\therefore$原式$=\frac{xy+3xy}{xy}=\frac{4xy}{xy}=4$.
故答案为4.
9. 通分：(1)$\frac{1}{2ab^{3}}与\frac{2}{5a^{2}b^{2}c}$；(2)$\frac{x - y}{2x + 2y}与\frac{xy}{3(x + y)^{2}}$。
答案
解:
(1)最简公分母是$10a^{2}b^{3}c$.
$\frac{1}{2ab^{3}}=\frac{1× 5ac}{2ab^{3}\cdot 5ac}=\frac{5ac}{10a^{2}b^{3}c}$,
$\frac{2}{5a^{2}b^{2}c}=\frac{2× 2b}{5a^{2}b^{2}c\cdot 2b}=\frac{4b}{10a^{2}b^{3}c}$.
(2)最简公分母是$6(x+y)^{2}$.
$\frac{x-y}{2x+2y}=\frac{x-y}{2(x+y)}=\frac{(x-y)\cdot 3(x+y)}{2(x+y)\cdot 3(x+y)}=$
$\frac{3x^{2}-3y^{2}}{6(x+y)^{2}}$;
$\frac{xy}{3(x+y)^{2}}=\frac{xy\cdot 2}{3(x+y)^{2}\cdot 2}=\frac{2xy}{6(x+y)^{2}}$.
(1)最简公分母是$10a^{2}b^{3}c$.
$\frac{1}{2ab^{3}}=\frac{1× 5ac}{2ab^{3}\cdot 5ac}=\frac{5ac}{10a^{2}b^{3}c}$,
$\frac{2}{5a^{2}b^{2}c}=\frac{2× 2b}{5a^{2}b^{2}c\cdot 2b}=\frac{4b}{10a^{2}b^{3}c}$.
(2)最简公分母是$6(x+y)^{2}$.
$\frac{x-y}{2x+2y}=\frac{x-y}{2(x+y)}=\frac{(x-y)\cdot 3(x+y)}{2(x+y)\cdot 3(x+y)}=$
$\frac{3x^{2}-3y^{2}}{6(x+y)^{2}}$;
$\frac{xy}{3(x+y)^{2}}=\frac{xy\cdot 2}{3(x+y)^{2}\cdot 2}=\frac{2xy}{6(x+y)^{2}}$.
10. 先化简,再求值：
(1)$\frac{4x^{2}-8xy + 4y^{2}}{2x^{2}-2y^{2}}$,其中$x = 2$,$y = 3$。
(2)$\frac{x^{2}-xy + 3y^{2}}{x^{2}+xy + 6y^{2}}$,其中$\frac{x}{y}= 2$。
(1)$\frac{4x^{2}-8xy + 4y^{2}}{2x^{2}-2y^{2}}$,其中$x = 2$,$y = 3$。
(2)$\frac{x^{2}-xy + 3y^{2}}{x^{2}+xy + 6y^{2}}$,其中$\frac{x}{y}= 2$。
答案
解:
(1)原式$=\frac{4(x-y)^{2}}{2(x+y)(x-y)}=\frac{2(x-y)}{x+y}$.
当$x= 2$,$y= 3$时,原式$=\frac{2(2-3)}{2+3}=-\frac{2}{5}$.
(2)$\because \frac{x}{y}= 2$,$\therefore x=2y$.
原式$=\frac{(2y)^{2}-2y\cdot y+3y^{2}}{(2y)^{2}+2y\cdot y+6y^{2}}$
$=\frac{4y^{2}-2y^{2}+3y^{2}}{4y^{2}+2y^{2}+6y^{2}}=\frac{5y^{2}}{12y^{2}}=\frac{5}{12}$.
(1)原式$=\frac{4(x-y)^{2}}{2(x+y)(x-y)}=\frac{2(x-y)}{x+y}$.
当$x= 2$,$y= 3$时,原式$=\frac{2(2-3)}{2+3}=-\frac{2}{5}$.
(2)$\because \frac{x}{y}= 2$,$\therefore x=2y$.
原式$=\frac{(2y)^{2}-2y\cdot y+3y^{2}}{(2y)^{2}+2y\cdot y+6y^{2}}$
$=\frac{4y^{2}-2y^{2}+3y^{2}}{4y^{2}+2y^{2}+6y^{2}}=\frac{5y^{2}}{12y^{2}}=\frac{5}{12}$.
11. 先约分,再求值：$\frac{a^{3}-4ab^{2}}{a^{3}-4a^{2}b + 4ab^{2}}$,其中$a = 2$,$b = -\frac{1}{2}$。
答案
解:原式$=\frac{a(a^{2}-4b^{2})}{a(a^{2}-4ab+4b^{2})}$
$=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^{2}}$
$=\frac{a+2b}{a-2b}$.
当$a= 2$,$b= -\frac{1}{2}$时,
原式$=\frac{2+2× (-\frac{1}{2})}{2-2× (-\frac{1}{2})}=\frac{1}{3}$.
$=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^{2}}$
$=\frac{a+2b}{a-2b}$.
当$a= 2$,$b= -\frac{1}{2}$时,
原式$=\frac{2+2× (-\frac{1}{2})}{2-2× (-\frac{1}{2})}=\frac{1}{3}$.
