1. 若关于x的一元二次方程$x^{2}+4x+k-1= 0$有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()
A.$k＜5$
B.$k＞5$
C.$k\leqslant5$
D.$k\geqslant5$

A

∵一元二次方程$x^{2}+4x+k-1=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = 4^{2}-4×1×(k - 1) ＞ 0$，
即$16 - 4(k - 1) ＞ 0$，
$16 - 4k + 4 ＞ 0$，
$20 - 4k ＞ 0$，
$4k ＜ 20$，
解得$k ＜ 5$。
A

2. 若关于x的一元二次方程$ax^{2}+4x-1= 0$有实数根,则a的取值范围是()
A.$a\geqslant-4$
B.$a＞-4$
C.$a＞-4且a\neq0$
D.$a\geqslant-4且a\neq0$

D

因为方程是一元二次方程，所以$a\neq0$。
一元二次方程$ax^{2}+4x - 1=0$有实数根，所以判别式$\Delta = 4^{2}-4× a×(-1)\geq0$，即$16 + 4a\geq0$，解得$a\geq - 4$。
综上，$a$的取值范围是$a\geq - 4$且$a\neq0$。
D

3. 一次函数$y= kx+b$的图像如图所示,则关于x的一元二次方程$2x^{2}-kx+b= 0$的根的情况是()
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

C

由图像可知，一次函数$y = kx + b$的图像经过第一、三、四象限，所以$k＞0$，$b＜0$。
对于一元二次方程$2x^{2}-kx + b=0$，其判别式$\Delta=(-k)^{2}-4×2× b=k^{2}-8b$。
因为$k＞0$，所以$k^{2}＞0$；又因为$b＜0$，所以$-8b＞0$，则$\Delta=k^{2}-8b＞0$。
故方程有两个不相等的实数根。
C

4. 定义运算：$m*n= m^{2}+mn-n^{2}-1$,例如：$5*2= 5^{2}+5×2-2^{2}-1= 30$,则关于x的方程$x*k= 0$的根的情况是()
A.无实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定

B

由定义运算$m*n = m^2 + mn - n^2 - 1$，得$x*k = x^2 + xk - k^2 - 1$。
方程$x*k = 0$可化为$x^2 + kx - k^2 - 1 = 0$。
计算判别式$\Delta = k^2 - 4×1×(-k^2 - 1) = k^2 + 4k^2 + 4 = 5k^2 + 4$。
因为$5k^2 \geq 0$，所以$5k^2 + 4 \geq 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$。
方程有两个不相等的实数根。
B

5. 若关于x的方程$2x^{2}+2x+m= 0$没有实数根,则m应满足的条件是。

$m ＞ \frac{1}{2}$

解：对于方程$2x^{2}+2x+m=0$，其中$a=2$，$b=2$，$c=m$。
判别式$\Delta =b^{2}-4ac=2^{2}-4×2× m=4 - 8m$。
因为方程没有实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即$4 - 8m ＜ 0$。
解得$m ＞ \frac{1}{2}$。
$m ＞ \frac{1}{2}$

6. 已知关于x的一元二次方程$(m+1)x^{2}+2x= 1$(m为实数)。
(1)如果该方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围；
(2)如果该方程有两个相等的实数根,求m的取值范围；
(3)如果该方程没有实数根,求m的取值范围。

(1) 方程化为一般形式：$(m+1)x^{2}+2x-1=0$，其中$a=m+1$，$b=2$，$c=-1$。
为一元二次方程，需$a\neq0$即$m+1\neq0\Rightarrow m\neq-1$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4(m+1)(-1)=4+4(m+1)=4m+8$。
有两个不相等实根需$\Delta＞0$，即$4m+8＞0\Rightarrow m＞-2$。
综上：$m＞-2$且$m\neq-1$。
(2) 有两个相等实根需$\Delta=0$且$a\neq0$。
$\Delta=4m+8=0\Rightarrow m=-2$，此时$a=-2+1=-1\neq0$。
综上：$m=-2$。
(3) 没有实根需$\Delta＜0$且$a\neq0$。
$\Delta=4m+8＜0\Rightarrow m＜-2$，此时$a=m+1\neq0$（$m＜-2$时$m+1＜-1\neq0$）。
综上：$m＜-2$。

7. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(2m+1)x+m-2= 0$。
(1)求证：无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当该方程的判别式的值最小时,写出m的值,并求出此时方程的解。

(1)
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
对于方程 $x^2 + (2m+1)x + m-2 = 0$，有 $a = 1, b = 2m+1, c = m-2$。
计算判别式：
$\Delta = (2m+1)^2 - 4 × 1 × (m-2) = 4m^2 + 4m + 1 - 4m + 8 = 4m^2 + 9$
由于 $4m^2 \geq 0$，所以 $\Delta = 4m^2 + 9 ＞ 0$。
因此，无论 $m$ 取何值，此方程总有两个不相等的实数根。
(2)
由 (1) 可知，判别式 $\Delta = 4m^2 + 9$。
要使 $\Delta$ 最小，需要使 $4m^2$ 最小，即 $m = 0$。
当 $m = 0$ 时，原方程变为 $x^2 + x - 2 = 0$。
使用求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，代入 $a = 1, b = 1, c = -2, \Delta = 9$，
得到：
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = -2$
所以当 $m = 0$ 时，方程的解为 $x_1 = 1, x_2 = -2$。