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1. 已知二次函数 $ y= ax^{2}(a\neq 0) $,当x取$ x_{1},x_{2}(x_{1}\neq x_{2},x_{1},x_{2} $分别是A,B两点的横坐标)时,函数值相等,则当x取$ x_{1}+x_{2} $时,函数值为(
A.a
B.-a
C.0
D.无法确定
C
)A.a
B.-a
C.0
D.无法确定
答案
C
解析
当$x = x_1$时，$y = ax_1^2$；当$x = x_2$时，$y = ax_2^2$。
因为函数值相等，所以$ax_1^2 = ax_2^2$，又$a \neq 0$，则$x_1^2 = x_2^2$。
即$x_1^2 - x_2^2 = 0$，因式分解得$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0$。
由于$x_1 \neq x_2$，所以$x_1 + x_2 = 0$。
当$x = x_1 + x_2 = 0$时，$y = a × 0^2 = 0$。
C
因为函数值相等，所以$ax_1^2 = ax_2^2$，又$a \neq 0$，则$x_1^2 = x_2^2$。
即$x_1^2 - x_2^2 = 0$，因式分解得$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0$。
由于$x_1 \neq x_2$，所以$x_1 + x_2 = 0$。
当$x = x_1 + x_2 = 0$时，$y = a × 0^2 = 0$。
C
2. 二次函数$ y= -\frac{1}{7}x^{2} $的开口
向下
,对称轴是$y$轴
,顶点坐标是$(0,0)$
。答案
向下；$y$轴；$(0,0)$
解析
对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，
当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；
当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^{2}}{4a})$。
对于函数$y = -\frac{1}{7}x^{2}$，其中$a = -\frac{1}{7}$，$b = 0$，$c = 0$。
因为$a ＜ 0$，所以抛物线开口向下。
对称轴为$x = -\frac{0}{2 × (-\frac{1}{7})} = 0$，即$y$轴。
顶点坐标为$(-\frac{0}{2 × (-\frac{1}{7})}, 0 - \frac{0^{2}}{4 × (-\frac{1}{7})}) = (0, 0)$。
当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；
当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。
对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^{2}}{4a})$。
对于函数$y = -\frac{1}{7}x^{2}$，其中$a = -\frac{1}{7}$，$b = 0$，$c = 0$。
因为$a ＜ 0$，所以抛物线开口向下。
对称轴为$x = -\frac{0}{2 × (-\frac{1}{7})} = 0$，即$y$轴。
顶点坐标为$(-\frac{0}{2 × (-\frac{1}{7})}, 0 - \frac{0^{2}}{4 × (-\frac{1}{7})}) = (0, 0)$。
3. 二次函数$ y= -\frac{1}{4}x^{2} $的开口
向下
,对称轴是$y$轴
,顶点坐标是$(0,0)$
。答案
向下；$y$轴；$(0,0)$
解析
对于二次函数$y=ax^{2}+bx+c$，当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
在函数$y=-\frac{1}{4}x^{2}$中，$a=-\frac{1}{4}＜0$，所以开口向下。
二次函数的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，在函数$y=-\frac{1}{4}x^{2}$中，$b=0$，$a=-\frac{1}{4}$，代入公式得对称轴为$x=0$，即$y$轴。
二次函数的顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^{2}}{4a})$，在函数$y=-\frac{1}{4}x^{2}$中，$b=0$，$c=0$，$a=-\frac{1}{4}$，代入公式得顶点坐标为$(0,0)$。
在函数$y=-\frac{1}{4}x^{2}$中，$a=-\frac{1}{4}＜0$，所以开口向下。
二次函数的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，在函数$y=-\frac{1}{4}x^{2}$中，$b=0$，$a=-\frac{1}{4}$，代入公式得对称轴为$x=0$，即$y$轴。
二次函数的顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^{2}}{4a})$，在函数$y=-\frac{1}{4}x^{2}$中，$b=0$，$c=0$，$a=-\frac{1}{4}$，代入公式得顶点坐标为$(0,0)$。
4. 二次函数$ y= ax^{2} 与 y= 2x^{2} $的图像的形状完全相同,则a=
$\pm2$
。答案
$\pm2$
解析
二次函数图像形状由二次项系数的绝对值决定，$y=ax^2$与$y=2x^2$形状相同，故$|a|=2$，所以$a=\pm2$。
5. 已知抛物线$ y= -5x^{2} $上两点 A(x₀,-5),B(2,y₀) ,则$ x_{0}= $
$\pm 1$
,$ y_{0}= $$-20$
。答案
$\pm 1$；$-20$
解析
对于点$A(x_{0}, -5)$，代入抛物线$y = -5x^{2}$得：$-5 = -5x_{0}^{2}$，即$x_{0}^{2} = 1$，解得$x_{0} = \pm 1$；
对于点$B(2, y_{0})$，代入抛物线$y = -5x^{2}$得：$y_{0} = -5×2^{2} = -5×4 = -20$。
$\pm 1$；$-20$
对于点$B(2, y_{0})$，代入抛物线$y = -5x^{2}$得：$y_{0} = -5×2^{2} = -5×4 = -20$。
$\pm 1$；$-20$
6. 已知函数$ y= ax^{2} $,当x= 1时y= 3,则a=
3
,对称轴是$x = 0$
,顶点是$(0,0)$
,抛物线的开口向上
,在对称轴的左侧,y随x增大而减小
,当x=0
时,函数y有最小
值,是0
。答案
3；$x = 0$；$(0,0)$；向上；减小；$0$；小；$0$
解析
1. 代入$x = 1$，$y = 3$到函数$y = ax^2$中，得$3 = a \cdot 1^2$，解得$a = 3$。
2. 对于二次函数$y = ax^2$，其对称轴为$x = 0$。
3. 顶点是抛物线与对称轴的交点，对于$y = 3x^2$，顶点为$(0, 0)$。
4. 当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上，因为$a = 3 ＞ 0$，所以抛物线开口向上。
5. 在对称轴$x = 0$的左侧，即$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小。
6. 因为抛物线开口向上，所以函数有最小值，且在顶点处取得，即当$x = 0$时，函数$y$有最小值，是$0$。
2. 对于二次函数$y = ax^2$，其对称轴为$x = 0$。
3. 顶点是抛物线与对称轴的交点，对于$y = 3x^2$，顶点为$(0, 0)$。
4. 当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上，因为$a = 3 ＞ 0$，所以抛物线开口向上。
5. 在对称轴$x = 0$的左侧，即$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小。
6. 因为抛物线开口向上，所以函数有最小值，且在顶点处取得，即当$x = 0$时，函数$y$有最小值，是$0$。
7. 已知二次函数$ y= ax^{2} $经过点(-1,-2)。
(1)求此二次函数的表达式,并画出此函数的大致图像；
(2)求此函数上纵坐标为-8的点的坐标；
(3)此二次函数的顶点坐标为
(4)当x在什么范围内,y随x的增大而减小？
(5)从图像上可以看出,当-1＜x＜3时,y的取值范围是
(1)求此二次函数的表达式,并画出此函数的大致图像；
(2)求此函数上纵坐标为-8的点的坐标；
(3)此二次函数的顶点坐标为
(0,0)
,对称轴是y轴
；(4)当x在什么范围内,y随x的增大而减小？
x＞0
；(5)从图像上可以看出,当-1＜x＜3时,y的取值范围是
-18＜y≤0
。答案
(1)将点(-1,-2)代入$y=ax^2$，得$-2=a×(-1)^2$，解得$a=-2$，表达式为$y=-2x^2$。图像为开口向下，顶点在原点的抛物线。
(2)令$y=-8$，则$-8=-2x^2$，$x^2=4$，$x=\pm2$，坐标为(2,-8)，(-2,-8)。
(3)(0,0)；y轴
(4)x＞0
(5)-18＜y≤0
(2)令$y=-8$，则$-8=-2x^2$，$x^2=4$，$x=\pm2$，坐标为(2,-8)，(-2,-8)。
(3)(0,0)；y轴
(4)x＞0
(5)-18＜y≤0
