例 如图,已知$C$,$D分别是OA$,$OB$上的点,且$CE = DE$,$AE = BE$,$OC = OD$,图中有哪些全等三角形？为什么?

名师导引 根据已知条件推出$\triangle ACE\cong\triangle BDE$,再根据所得两个全等三角形的性质和已知条件以及图中隐含的条件推出其他全等三角形.

△ACE≌△BDE，△OCE≌△ODE，△OAE≌△OBE，△OAC≌△OBD。
1. △ACE≌△BDE
证明：在△ACE和△BDE中，
∵AE=BE（已知），
∠AEC=∠BED（对顶角相等），
CE=DE（已知），
∴△ACE≌△BDE（SAS）。
2. △OAC≌△OBD
证明：由△ACE≌△BDE得AC=BD（全等三角形对应边相等）。
在△OAC和△OBD中，
∵OC=OD（已知），
∠O=∠O（公共角），
AC=BD（已证），
∴△OAC≌△OBD（SAS）。
3. △OAE≌△OBE
证明：由△OAC≌△OBD得OA=OB（全等三角形对应边相等）。
在△OAE和△OBE中，
∵OA=OB（已证），
∠A=∠B（由△ACE≌△BDE得对应角相等），
AE=BE（已知），
∴△OAE≌△OBE（SAS）。
4. △OCE≌△ODE
证明：由△OAE≌△OBE得∠COE=∠DOE（全等三角形对应角相等）。
在△OCE和△ODE中，
∵OC=OD（已知），
∠COE=∠DOE（已证），
OE=OE（公共边），
∴△OCE≌△ODE（SAS）。

填空：把下面的推理过程补充完整,并在括号内注明理由.
已知：如图,$BC// EF$,$AB = DE$,$BC = EF$. 试说明$\angle C = \angle F$.

证明：$\because BC// EF$(已知),
$\therefore \angle ABC = $().
在$\triangle ABC与\triangle DEF$中,
$\left\{ \begin{array}{l}AB = DE, \\$, \\$, \end{array} \right.$
$\therefore \triangle ABC\cong\triangle DEF$(),
$\therefore \angle C = \angle F$().

$\because BC// EF$(已知),
$\therefore \angle ABC = \angle DEF$(两直线平行，同位角相等).
在$\triangle ABC$与$\triangle DEF$中,
$\left\{ \begin{array}{l}AB = DE, \\ \angle ABC = \angle DEF, \\ BC = EF, \end{array} \right.$
$\therefore \triangle ABC\cong\triangle DEF$(SAS),
$\therefore \angle C = \angle F$(全等三角形的对应角相等).

1. 数学兴趣小组要利用所学知识,自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径. 如图,用螺丝钉将两根长度相同的木棒$AD$,$BC的中点O$固定,利用全等三角形知识,测得$CD的长就是锥形瓶内径AB$的长. 其中,判定$\triangle AOB和\triangle DOC$全等的方法是()

A.SSS
B.ASA
C.SAS
D.AAS

C

已知$O$是$AD$和$BC$的中点，所以$AO = OD$，$BO = OC$。
根据对顶角相等，可得$\angle AOB = \angle DOC$。
在$\triangle AOB$和$\triangle DOC$中，$AO = DO$，$\angle AOB = \angle DOC$，$BO = CO$，两边及其夹角对应相等，所以是“$SAS$”判定定理。

2. 如图,亮亮想测量湖边$A$,$B$两点之间的距离,他选取了可以直接到达点$A$,$B的一点C$,连接$CA$,$CB$,并作$BD// AC$,截取$BD = AC$,连接$CD$. 他说,根据三角形全等的判定定理,可得$\triangle ABC\cong\triangle DCB$,所以$AB = CD$. 他用到的三角形全等的判定定理是()

A.SAS
B.AAS
C.SSS
D.ASA

A

∵BD//AC，∴∠ACB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。在△ABC和△DCB中，AC=DB，∠ACB=∠DBC，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）。

3. 如图所示的$5$个三角形中：$\triangle ABC\cong$,$\triangle DEF\cong$.

$\triangle RMN$，$\triangle PQO$

$\triangle ABC$中，$AC=1.5cm$，$BC=2.5cm$，$\angle C=90^{\circ}$；$\triangle RMN$中，$RM=2.5cm$，$MN=1.5cm$，$\angle M=90^{\circ}$，满足$SAS$全等条件，故$\triangle ABC\cong\triangle RMN$。
$\triangle DEF$中，$DE=2.5cm$，$EF=1.5cm$，$\angle E=30^{\circ}$；$\triangle PQO$中，$PQ=2.5cm$，$PO=1.5cm$，$\angle P=30^{\circ}$，满足$SAS$全等条件，故$\triangle DEF\cong\triangle PQO$。