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1. 用三角尺作$\triangle ABC的边AB$上的高线,下列三角尺的摆放位置正确的是(
A
)答案
B
解析
2. 如图,$CD$,$CE$,$CF分别是\triangle ABC$的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是(
A.$BA= 2BF$
B.$\angle ACE= \frac{1}{2}\angle ACB$
C.$AE= BE$
D.$CD\perp AB$
C
)A.$BA= 2BF$
B.$\angle ACE= \frac{1}{2}\angle ACB$
C.$AE= BE$
D.$CD\perp AB$
答案
C
解析
∵CF是中线，∴AF=BF，BA=2BF，A正确；∵CE是角平分线，∴∠ACE=∠BCE=1/2∠ACB，B正确；∵CF是中线，E不是中点，∴AE≠BE，C错误；∵CD是高，∴CD⊥AB，D正确。
3. 如图,$AD为\triangle ABC$的角平分线,$G为AD$的中点,连接$BG并延长交AC于E$,$F为AB$上的一点,$CF\perp AD于H$。则下列判断中正确的是
①$AD是\triangle ABE$的角平分线；②$BG是\triangle ABD$的中线；③$CH为\triangle ACD中AD$边上的高。
①②③
。①$AD是\triangle ABE$的角平分线；②$BG是\triangle ABD$的中线；③$CH为\triangle ACD中AD$边上的高。
答案
①②③
解析
①AD是△ABC的角平分线，故∠BAD=∠CAD，在△ABE中，∠BAE=∠BAC，AD平分∠BAC即∠BAD=∠EAD（∠EAD=∠CAD），因此AD平分∠BAE，是△ABE的角平分线，①正确；②G为AD中点，即AG=GD，在△ABD中，BG连接顶点B与对边AD中点G，故BG是△ABD的中线，②正确；③CF⊥AD于H，即CH⊥AD，H为垂足，在△ACD中，CH是从顶点C向边AD作的垂线，故CH为△ACD中AD边上的高，③正确。
4. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 6$,$BC= 8$,$AB= 10$,$P为直线AB$上一动点,连接$PC$,则线段$PC$的最小值是
4.8
。答案
4.8
解析
因为点P在直线AB上运动，根据垂线段最短，当PC⊥AB时，PC的值最小。在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10。由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}AC×BC = \frac{1}{2}AB×PC$，即$\frac{1}{2}×6×8 = \frac{1}{2}×10×PC$，解得$PC = \frac{6×8}{10} = 4.8$。
5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AE是边BC$上的中线,$AD\perp BC交BC于点D$,$F为AB$的中点,连接$EF$。已知$AD= 6$,$\triangle ABC$的面积为24。
(1)求$CE$的长；
(2)若$AE= 7$,求$\triangle AEF与\triangle BEF$的周长差。
(1)求$CE$的长；
(2)若$AE= 7$,求$\triangle AEF与\triangle BEF$的周长差。
答案
(1)
因为$AD\perp BC$，$AD$是$\triangle ABC$的高，$AD = 6$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD = 24$，
把$AD = 6$代入$\frac{1}{2}BC\cdot AD = 24$，可得$\frac{1}{2}BC×6 = 24$，
则$BC = 8$。
又因为$AE$是$BC$边上的中线，所以$CE=\frac{1}{2}BC = 4$。
(2)
因为$AE$是$BC$边上的中线，所以$BE = CE = 4$。
$C_{\triangle AEF}-C_{\triangle BEF}=(AF + AE+EF)-(BF + BE + EF)$，
又因为$F$为$AB$的中点，所以$AF = BF$，
则$C_{\triangle AEF}-C_{\triangle BEF}=AF + AE+EF - AF - BE - EF=AE - BE$。
已知$AE = 7$，$BE = 4$，所以$C_{\triangle AEF}-C_{\triangle BEF}=7 - 4 = 3$。
综上，(1) $CE$的长为$4$；(2) $\triangle AEF$与$\triangle BEF$的周长差为$3$。
因为$AD\perp BC$，$AD$是$\triangle ABC$的高，$AD = 6$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD = 24$，
把$AD = 6$代入$\frac{1}{2}BC\cdot AD = 24$，可得$\frac{1}{2}BC×6 = 24$，
则$BC = 8$。
又因为$AE$是$BC$边上的中线，所以$CE=\frac{1}{2}BC = 4$。
(2)
因为$AE$是$BC$边上的中线，所以$BE = CE = 4$。
$C_{\triangle AEF}-C_{\triangle BEF}=(AF + AE+EF)-(BF + BE + EF)$，
又因为$F$为$AB$的中点，所以$AF = BF$，
则$C_{\triangle AEF}-C_{\triangle BEF}=AF + AE+EF - AF - BE - EF=AE - BE$。
已知$AE = 7$，$BE = 4$，所以$C_{\triangle AEF}-C_{\triangle BEF}=7 - 4 = 3$。
综上，(1) $CE$的长为$4$；(2) $\triangle AEF$与$\triangle BEF$的周长差为$3$。
6. 如图,在$\triangle ABC$中,$CD平分\angle ACB$,$DE// BC$,交$AC于点E$。若$\angle AED= 50^{\circ}$,求$\angle D$的度数。
答案
$\angle D = 25°$。
解析
∵ $DE // BC$，
∴ $\angle ACB = \angle AED = 50°$，
∵ $CD$平分$\angle ACB$，
∴ $\angle BCD = \frac{1}{2} \angle ACB = 25°$，
∵ $DE // BC$，
∴ $\angle D = \angle BCD = 25°$。
最终
∴ $\angle ACB = \angle AED = 50°$，
∵ $CD$平分$\angle ACB$，
∴ $\angle BCD = \frac{1}{2} \angle ACB = 25°$，
∵ $DE // BC$，
∴ $\angle D = \angle BCD = 25°$。
最终
7. 【探究】如图1,$AD是\triangle ABC中BC$边上的中线,$\triangle ABD与\triangle ACD$的面积相等吗？请说明理由。
【应用】如图2,点$A$,$B$,$C分别是BD$,$CE$,$AF$的中点,且$S_{\triangle ABC}= 4$
【应用】如图2,点$A$,$B$,$C分别是BD$,$CE$,$AF$的中点,且$S_{\triangle ABC}= 4$
,则图2中阴影部分的面积242。
【拓展】如图3,$\triangle ABC$中,延长$CA至点F$,使得$AF= CA$；延长$AB至点D$,使得$BD= 2AB$；延长$BC至点E$,使得$CE= 3BC$。连接$EF$,$FD$,$DE$,如果$S_{\triangle ABC}= 3$,那么$S_{\triangle DEF}= $54
。【探究】相等。理由：因为AD是△ABC中BC边上的中线，所以BD=CD。设点A到BC的距离为h，根据三角形面积公式，S△ABD=1/2×BD×h，S△ACD=1/2×CD×h，由于BD=CD，所以S△ABD=S△ACD。
答案
【探究】相等，理由见上述；
【应用】$24$；
【拓展】$54$。
【应用】$24$；
【拓展】$54$。
解析
