变式训练$ $计算$:$　　
$(1) \left( - \dfrac { a } { b } \right) ^ { 2 } \cdot \left( - \dfrac { b } { 2 a } \right) ^ { 3 } ÷ \left( \dfrac { b } { 2 a m } \right) ^ { 2 };$　　
$(2) ( x ^ { m + 1 } ) ^ { 3 } ÷ ( x ^ { m - 1 } ) ^ { 2 }.$　　

(1)
$\begin{aligned}\left(-\dfrac{a}{b}\right)^2 \cdot \left(-\dfrac{b}{2a}\right)^3 ÷ \left(\dfrac{b}{2am}\right)^2&=\dfrac{a^2}{b^2} \cdot \left(-\dfrac{b^3}{8a^3}\right) ÷ \dfrac{b^2}{4a^2m^2}\\&=\dfrac{a^2}{b^2} \cdot \left(-\dfrac{b^3}{8a^3}\right) \cdot \dfrac{4a^2m^2}{b^2}\\&=\dfrac{a^2 \cdot (-b^3) \cdot 4a^2m^2}{b^2 \cdot 8a^3 \cdot b^2}\\&=\dfrac{-4a^4b^3m^2}{8a^3b^4}\\&=-\dfrac{am^2}{2b}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(x^{m+1})^3 ÷ (x^{m-1})^2&=x^{3(m+1)} ÷ x^{2(m-1)}\\&=x^{3m+3} ÷ x^{2m-2}\\&=x^{(3m+3)-(2m-2)}\\&=x^{m+5}\end{aligned}$
(1) $-\dfrac{am^2}{2b}$；
(2) $x^{m+5}$

$1. $当$x = 3,y = 4$时$,$化简算式$\dfrac { ( x + y ) ^ { 3 } } { x y } ÷ ( x + y ) ^ { 2 } \cdot \left( \dfrac { x y } { x + y } \right) ^ { 2 }$的结果是$($$)$
$A.\dfrac { 12 } { 7 }$
$B.\dfrac { 7 } { 12 }$
C.7
D.12

A

原式=$\dfrac{(x + y)^3}{xy} ÷ (x + y)^2 \cdot \left(\dfrac{xy}{x + y}\right)^2$
=$\dfrac{(x + y)^3}{xy} \cdot \dfrac{1}{(x + y)^2} \cdot \dfrac{x^2y^2}{(x + y)^2}$
=$\dfrac{(x + y)^3 \cdot x^2y^2}{xy \cdot (x + y)^2 \cdot (x + y)^2}$
=$\dfrac{x^2y^2}{xy(x + y)}$
=$\dfrac{xy}{x + y}$
当$x = 3$，$y = 4$时，原式=$\dfrac{3×4}{3 + 4}=\dfrac{12}{7}$

2. 若$m$为正整数，则$ \left( - \dfrac { x } { y } \right) ^ { 3 m + 1 } \cdot \left( - \dfrac { y } { x } \right) ^ { 3 m } = $.

$\left( -\dfrac{x}{y} \right)^{3m + 1} \cdot \left( -\dfrac{y}{x} \right)^{3m}$
$=(-1)^{3m+1}\cdot \dfrac{x^{3m+1}}{y^{3m+1}}\cdot (-1)^{3m}\cdot \dfrac{y^{3m}}{x^{3m}}$
$=(-1)^{3m+1+3m}\cdot \dfrac{x^{3m+1}\cdot y^{3m}}{y^{3m+1}\cdot x^{3m}}$
$=(-1)^{6m+1}\cdot x^{1}\cdot y^{-1}$
$=-1\cdot \dfrac{x}{y}$
$=-\dfrac{x}{y}$
$-\dfrac{x}{y}$

$3. $化简$:$　　
$(1) - \dfrac { n ^ { 2 } } { 2 m } \cdot \dfrac { 4 m ^ { 2 } } { 5 n ^ { 3 } } = $;　　
$(2) \left( \dfrac { a ^ { 2 } } { - b } \right) ^ { 5 } \cdot \left( \dfrac { b ^ { 2 } } { - a } \right) ^ { 6 } \cdot \left( \dfrac { 1 } { a b } \right) ^ { 7 } = $;　　
$(3) ( - 3 a b ^ { 3 } c ^ { 2 } ) ^ { 2 } ÷ \left( - \dfrac { 3 b ^ { 2 } c } { a } \right) ^ { 3 } = $.

(1) $-\dfrac{n^2}{2m} \cdot \dfrac{4m^2}{5n^3}$
$\begin{aligned}&=-\dfrac{n^2 \cdot 4m^2}{2m \cdot 5n^3}\\&=-\dfrac{4m^2n^2}{10mn^3}\\&=-\dfrac{2m}{5n}\end{aligned}$
(2) $\left( \dfrac{a^2}{-b} \right)^5 \cdot \left( \dfrac{b^2}{-a} \right)^6 \cdot \left( \dfrac{1}{ab} \right)^7$
$\begin{aligned}&=\dfrac{(a^2)^5}{(-b)^5} \cdot \dfrac{(b^2)^6}{(-a)^6} \cdot \dfrac{1}{(ab)^7}\\&=-\dfrac{a^{10}}{b^5} \cdot \dfrac{b^{12}}{a^6} \cdot \dfrac{1}{a^7b^7}\\&=-\dfrac{a^{10}b^{12}}{b^5a^6a^7b^7}\\&=-\dfrac{a^{10}b^{12}}{a^{13}b^{12}}\\&=-\dfrac{1}{a^3}\end{aligned}$
(3) $(-3ab^3c^2)^2 ÷ \left( -\dfrac{3b^2c}{a} \right)^3$
$\begin{aligned}&=9a^2b^6c^4 ÷ \left( -\dfrac{27b^6c^3}{a^3} \right)\\&=9a^2b^6c^4 × \left( -\dfrac{a^3}{27b^6c^3} \right)\\&=-\dfrac{9a^2b^6c^4 \cdot a^3}{27b^6c^3}\\&=-\dfrac{9a^5c}{27}\\&=-\dfrac{a^5c}{3}\end{aligned}$
(1) $-\dfrac{2m}{5n}$；
(2) $-\dfrac{1}{a^3}$；
(3) $-\dfrac{a^5c}{3}$

$4. $计算$:$　　
$(1) 6 x ^ { 3 } y ^ { 2 } ÷ \left( - \dfrac { y } { x } \right) \cdot \dfrac { x } { y ^ { 2 } } ÷ x ^ { 2 };$　　
$(2) \dfrac { ( 1 + x ) ^ { 2 } } { 1 - x ^ { 2 } } ÷ \left[ \dfrac { 2 x } { 1 - x } \cdot \dfrac { 1 } { ( 1 + x ) } \right];$　　
$(3) 2 x ^ { 2 } y ÷ \left( \dfrac { x } { - y } \right) ^ { 2 };$　　
$(4) \left( \dfrac { a - b } { a b } \right) ^ { 2 } \cdot \left( \dfrac { - a } { b - a } \right) ^ { 3 } \cdot ( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } ).$　　

(1) 原式$=6x^{3}y^{2}×\left(-\dfrac{x}{y}\right)\cdot\dfrac{x}{y^{2}}×\dfrac{1}{x^{2}}$
$=6x^{3}y^{2}×\left(-\dfrac{x}{y}\right)=\dfrac{-6x^{4}y^{2}}{y}=-6x^{4}y$
$-6x^{4}y\cdot\dfrac{x}{y^{2}}=\dfrac{-6x^{5}y}{y^{2}}=-\dfrac{6x^{5}}{y}$
$-\dfrac{6x^{5}}{y}×\dfrac{1}{x^{2}}=-\dfrac{6x^{3}}{y}$
(2) 原式$=\dfrac{(1+x)^{2}}{1-x^{2}}÷\left[\dfrac{2x}{(1-x)(1+x)}\right]$
$=\dfrac{(1+x)^{2}}{1-x^{2}}÷\dfrac{2x}{1-x^{2}}$
$=\dfrac{(1+x)^{2}}{1-x^{2}}×\dfrac{1-x^{2}}{2x}=\dfrac{(1+x)^{2}}{2x}$
(3) 原式$=2x^{2}y÷\dfrac{x^{2}}{y^{2}}$
$=2x^{2}y×\dfrac{y^{2}}{x^{2}}=2y^{3}$
(4) 原式$=\dfrac{(a-b)^{2}}{a^{2}b^{2}}\cdot\left[\dfrac{-a^{3}}{(b-a)^{3}}\right]\cdot(a-b)(a+b)$
$=\dfrac{(a-b)^{2}}{a^{2}b^{2}}\cdot\dfrac{a^{3}}{(a-b)^{3}}\cdot(a-b)(a+b)$
$=\dfrac{a(a+b)}{b^{2}}$

$5. $化简求值$:\dfrac { a - 1 } { a + 2 } \cdot \dfrac { a ^ { 2 } - 4 } { a ^ { 2 } - 2 a + 1 } ÷ \dfrac { 1 } { a ^ { 2 } - 1 },$其中$a$满足$a ^ { 2 } - a = 0.$　　

$-2$

化简过程：
原式$=\dfrac{a - 1}{a + 2} \cdot \dfrac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} ÷ \dfrac{1}{a^2 - 1}$
$=\dfrac{a - 1}{a + 2} \cdot \dfrac{(a - 2)(a + 2)}{(a - 1)^2} \cdot (a - 1)(a + 1)$（分解因式并将除法转化为乘法）
$=\dfrac{(a - 1)(a - 2)(a + 2)(a - 1)(a + 1)}{(a + 2)(a - 1)^2}$（分子分母分别相乘）
$=(a - 2)(a + 1)$（约分）
$=a^2 - a - 2$（展开多项式）
求值过程：
由$a^2 - a = 0$，代入$a^2 - a - 2$得：
$0 - 2 = -2$
检验：
由$a^2 - a = 0$解得$a = 0$或$a = 1$。
当$a = 1$时，原分式分母$(a - 1)^2 = 0$，舍去；
当$a = 0$时，分母均不为0，有效。

$6. $在关于$x$的方程$x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$两边同时乘$\dfrac { 1 } { x } ( x \neq 0 )$得$:x - 3 + \dfrac { 1 } { x } = 0,$即$x + \dfrac { 1 } { x } = 3,$而$\left( x + \dfrac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } = x ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } + 2 \cdot x \cdot \dfrac { 1 } { x } = x ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } + 2,$所以$x ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } = \left( x + \dfrac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } - 2 = 3 ^ { 2 } - 2 = 7.$　　
根据以上材料$,$解答下列问题$:$　　
已知$x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0,$求$①x + \dfrac { 1 } { x } =$$,②x ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } }=$$,x ^ { 4 } + \dfrac { 1 } { x ^ { 4 } }=$的值$.$

①因为$x^2 - 4x + 1 = 0$且$x \neq 0$，两边同乘$\frac{1}{x}$得$x - 4 + \frac{1}{x} = 0$，所以$x + \frac{1}{x} = 4$。
②$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 4^2 - 2 = 14$。
③$x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2 = 14^2 - 2 = 194$。
①4；②14；③194