7. 在△ABC中,∠C= 90°,正方形DEFG的顶点D,G分别在AC,BC上,E,F在AB上.
(1)如图①,若AC= 3,BC= 4,求DG的长；
(2)如图②,四边形HPEQ,MNR F为正方形,设正方形HPEQ,MFRN,DEFG的边长分别为a,b,c,求证：a+b= c.

(1)60/37；(2)见解析。

(1)在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5，
S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×3×4=6，
设DG=x，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG=DE=EF=FG=x，DG//AB，
过点C作CH⊥AB于点H，交DG于点I，
CH=2S△ABC/AB=2×6/5=12/5，
∵DG//AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴CI/CH=DG/AB，
∴CI=(DG/AB)×CH=(x/5)×(12/5)=12x/25，
∵IH=CH - CI=12/5 - 12x/25，
又
∵IH=DE=x，
∴12/5 - 12x/25=x，
解得x=60/37，
即DG的长为60/37。
(2)证明：设正方形DEFG的边长为c，
∵∠C=90°，四边形DEFG是正方形，
∴∠AED=∠GFB=90°，∠ADE=∠A，∠BGF=∠B，
∴△ADE∽△ABC，△BGF∽△ABC，
设△ADE的边长为a，△BGF的边长为b，
∵△ADE∽△ABC，
∴AE/AB=DE/BC=a/BC，
∵△BGF∽△ABC，
∴BF/AB=GF/AC=b/AC，
∵AE + EF + BF=AB，EF=c，
∴AE + BF=AB - c，
又
∵AE=(a/BC)×AB，BF=(b/AC)×AB，
∴(a/BC)×AB + (b/AC)×AB=AB - c，
两边同时除以AB得：a/BC + b/AC=1 - c/AB，
∵△ABC中，AC×BC=AB×CH（CH为AB边上的高），
由
(1)知CH=12/5，AB=5，AC=3，BC=4，
可得AC×BC=12，AB×CH=5×(12/5)=12，
即AC×BC=AB×CH，
设AC=b'，BC=a'，AB=c'，CH=h，
则a'/c' + b'/c'=(a' + b')/c'=1 - c/c'，
又
∵a/a'=b/b'=c/c'=k（相似比），
∴a=ka'，b=kb'，c=kc'，
∴(ka' + kb')/kc'=1 - kc'/c'，
即(a' + b')/c'=1 - k，
又
∵(a' + b')/c'=1 - k，
∴a + b=kc'=c，
即a + b=c。

8. 有这样一道题：有一块三角形余料ABC,它的边BC= 120mm,高AD= 80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,则加工成的正方形零件的边长是多少？
小颖解得此题的答案为48mm.小颖善于反思,她又提出了如下的问题：
如果原题中所要加工的零件是一个矩形,如图②,此矩形零件的长、宽就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的长、宽.

设矩形在BC上的边长为$ x \, mm $，宽为$ y \, mm $（即矩形的高为$ y \, mm $）。
矩形的两个顶点在AB、AC上，记矩形为EFGH，其中EF在BC上，HG平行于BC，故$ \triangle AHG \sim \triangle ABC $。
相似三角形对应高的比等于相似比。$ \triangle ABC $的高$ AD = 80 \, mm $，$ \triangle AHG $的高为$ AD - y = 80 - y $。
则相似比为$ \frac{80 - y}{80} = \frac{HG}{BC} $，又$ HG = x $，$ BC = 120 \, mm $，
即$ \frac{80 - y}{80} = \frac{x}{120} $，解得$ y = 80 - \frac{2}{3}x $。
矩形面积$ S = x \cdot y = x \left(80 - \frac{2}{3}x\right) = -\frac{2}{3}x^2 + 80x $。
此二次函数开口向下，对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{80}{2 × (-\frac{2}{3})} = 60 $。
当$ x = 60 \, mm $时，$ y = 80 - \frac{2}{3} × 60 = 40 \, mm $。
答：矩形面积最大时，长为$ 60 \, mm $，宽为$ 40 \, mm $。