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7. 如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的范围是(
A.$12\leqslant a\leqslant 13$
B.$12\leqslant a\leqslant 15$
C.$5\leqslant a\leqslant 12$
D.$5\leqslant a\leqslant 13$
A
)A.$12\leqslant a\leqslant 13$
B.$12\leqslant a\leqslant 15$
C.$5\leqslant a\leqslant 12$
D.$5\leqslant a\leqslant 13$
答案
A
解析
当吸管垂直于底面时，长度最短，为圆柱的高，即$a=12$；当吸管斜放，一端在小孔处，另一端在底面圆周上时，长度最长，此时吸管、圆柱的高与底面直径构成直角三角形，底面直径为$2×5=10$，根据勾股定理可得$a=\sqrt{10^{2}+12^{2}}=13$，所以$12\leqslant a\leqslant 13$。
8. 如图,在△ABC中,AB= AC= 5,BC= 6,M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN= (
A.$\frac{6}{5}$
B.$\frac{9}{5}$
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{16}{5}$
C
)A.$\frac{6}{5}$
B.$\frac{9}{5}$
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{16}{5}$
答案
C
解析
连接AM，
∵AB=AC=5，M为BC中点，BC=6，
∴BM=MC=3，AM⊥BC，
在Rt△AMC中，AM=$\sqrt{AC^2-MC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∵S△AMC=$\frac{1}{2}×MC×AM=\frac{1}{2}×AC×MN$，
∴$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×MN$，
解得MN=$\frac{12}{5}$。
C
∵AB=AC=5，M为BC中点，BC=6，
∴BM=MC=3，AM⊥BC，
在Rt△AMC中，AM=$\sqrt{AC^2-MC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∵S△AMC=$\frac{1}{2}×MC×AM=\frac{1}{2}×AC×MN$，
∴$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×MN$，
解得MN=$\frac{12}{5}$。
C
9. 如图1所示,这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”。此图案的示意图如图2所示,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四个全等的直角三角形。若EF= 2,DE= 8,则AB的长为
10
。答案
10
解析
设直角三角形的较短直角边为$a$，较长直角边为$b$。
因为$\triangle ABF$、$\triangle BCG$、$\triangle CDH$、$\triangle DAE$是四个全等的直角三角形，且$DE = 8$，所以$b=DE = 8$。
由于四边形$EFGH$是正方形，$EF=2$，所以$b - a=EF = 2$，即$8 - a=2$，解得$a=6$。
在直角三角形$ADE$中，$AD$为斜边，根据勾股定理可得：$AD=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD = 10$。
10
因为$\triangle ABF$、$\triangle BCG$、$\triangle CDH$、$\triangle DAE$是四个全等的直角三角形，且$DE = 8$，所以$b=DE = 8$。
由于四边形$EFGH$是正方形，$EF=2$，所以$b - a=EF = 2$，即$8 - a=2$，解得$a=6$。
在直角三角形$ADE$中，$AD$为斜边，根据勾股定理可得：$AD=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD = 10$。
10
10. 如图所示,在△ABC中,D是边BC上的一点,AC= 5,AD= 6,BD= 10,CD= 5,则△ABC的面积是
36
。答案
36
解析
过点$A$作$AE \perp BC$于点$E$，设$DE = x$，则$CE=5 - x$。
在$Rt\triangle ADE$中，$AE^{2}=AD^{2}-DE^{2}=6^{2}-x^{2}=36 - x^{2}$。
在$Rt\triangle ACE$中，$AE^{2}=AC^{2}-CE^{2}=5^{2}-(5 - x)^{2}=25-(25 - 10x + x^{2})=10x - x^{2}$。
所以$36 - x^{2}=10x - x^{2}$，解得$x = \frac{18}{5}$。
则$AE^{2}=10×\frac{18}{5}-\left(\frac{18}{5}\right)^{2}=\frac{144}{25}$，$AE=\frac{12}{5}$。
$BC=BD + CD=10 + 5=15$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}× BC× AE=\frac{1}{2}×15×\frac{12}{5}=36$。
36
在$Rt\triangle ADE$中，$AE^{2}=AD^{2}-DE^{2}=6^{2}-x^{2}=36 - x^{2}$。
在$Rt\triangle ACE$中，$AE^{2}=AC^{2}-CE^{2}=5^{2}-(5 - x)^{2}=25-(25 - 10x + x^{2})=10x - x^{2}$。
所以$36 - x^{2}=10x - x^{2}$，解得$x = \frac{18}{5}$。
则$AE^{2}=10×\frac{18}{5}-\left(\frac{18}{5}\right)^{2}=\frac{144}{25}$，$AE=\frac{12}{5}$。
$BC=BD + CD=10 + 5=15$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}× BC× AE=\frac{1}{2}×15×\frac{12}{5}=36$。
36
11. 如图,小明在做手工时,把一张长AB= 15 cm,宽BC= 12 cm的纸片两直角都向内折叠,折痕分别是EF,EC,折叠后点A落在点A'处,点B落在点B'处,且点B'在EA'上。如果BE= 3 cm,请求出A'C的长。
答案
$\boxed{15}$
解析
∵四边形ABCD是矩形，AB=15cm，BC=12cm，
∴∠A=∠B=∠BCD=90°，AB=CD=15cm，AD=BC=12cm。
∵BE=3cm，
∴AE=AB-BE=15-3=12cm。
由折叠性质得：A'E=AE=12cm，B'E=BE=3cm，∠A'=∠A=90°，∠B'=∠B=90°。
∵点B'在EA'上，
∴A'B'=A'E-B'E=12-3=9cm。
设FC=xcm，则DF=AD-FC=12-xcm。
由折叠性质得：A'F=DF=12-xcm。
在Rt△A'B'C中，B'C=BC=12cm，A'B'=9cm，
根据勾股定理得：A'C²=A'B'²+B'C²=9²+12²=81+144=225，
∴A'C=15cm。
$\boxed{15}$
