登录
1. 两个相似多边形的相似比是2:3,则这两个多边形的周长比是(
A.4:9
B.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.2:5
D.2:3
D
)A.4:9
B.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.2:5
D.2:3
答案
D
解析
两个相似多边形的相似比是$2:3$，根据相似多边形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，所以这两个多边形的周长比是$2:3$。
D
D
2. 若两个正方形的边长比是3:2,其中较大的正方形的面积是18,则较小的正方形的面积是(
A.4
B.8
C.12
D.16
B
)A.4
B.8
C.12
D.16
答案
B
解析
两个正方形的边长比是$3:2$，则面积比是$3^2:2^2 = 9:4$。
设较小正方形的面积是$x$，因为较大正方形面积是$18$，所以$18:x = 9:4$。
根据比例性质可得$9x = 18×4$，$9x = 72$，解得$x = 8$。
B
设较小正方形的面积是$x$，因为较大正方形面积是$18$，所以$18:x = 9:4$。
根据比例性质可得$9x = 18×4$，$9x = 72$，解得$x = 8$。
B
3. 四边形ABCD与四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$相似,相似比为2:3,四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}与四边形A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$相似,相似比为5:4,则四边形ABCD与四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$相似且相似比为(
A.5:6
B.6:5
C.5:6或6:5
D.8:15
A
)A.5:6
B.6:5
C.5:6或6:5
D.8:15
答案
A
解析
设四边形ABCD、$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$、$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$的对应边长分别为$a$、$a_{1}$、$a_{2}$。
因为四边形ABCD与四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$相似，相似比为$2:3$，所以$\frac{a}{a_{1}}=\frac{2}{3}$，即$a=\frac{2}{3}a_{1}$。
因为四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$与四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$相似，相似比为$5:4$，所以$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{4}$，即$a_{2}=\frac{4}{5}a_{1}$。
则四边形ABCD与四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$的相似比为$\frac{a}{a_{2}}=\frac{\frac{2}{3}a_{1}}{\frac{4}{5}a_{1}}=\frac{2}{3}×\frac{5}{4}=\frac{5}{6}$。
A
因为四边形ABCD与四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$相似，相似比为$2:3$，所以$\frac{a}{a_{1}}=\frac{2}{3}$，即$a=\frac{2}{3}a_{1}$。
因为四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$与四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$相似，相似比为$5:4$，所以$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{4}$，即$a_{2}=\frac{4}{5}a_{1}$。
则四边形ABCD与四边形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$的相似比为$\frac{a}{a_{2}}=\frac{\frac{2}{3}a_{1}}{\frac{4}{5}a_{1}}=\frac{2}{3}×\frac{5}{4}=\frac{5}{6}$。
A
4. 如图是两个相似的平行四边形,根据条件可知,$∠α=$
125°
,m=12
.答案
125°，12
解析
∵平行四边形的对角相等，邻角互补，第一个平行四边形中一个角为$55^{\circ}$，
∴与$55^{\circ}$角相邻的角为$180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}$。
∵两个平行四边形相似，
∴对应角相等，$∠α=125^{\circ}$。
∵相似多边形对应边成比例，第一个平行四边形的一组邻边为$8a$、$m$，第二个平行四边形的一组邻边为$6a$、$9$，
∴$\frac{8a}{6a}=\frac{m}{9}$，即$\frac{4}{3}=\frac{m}{9}$，解得$m=12$。
$∠α=125^{\circ}$，$m=12$
5. 把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为
$\sqrt{2}$
.答案
$\sqrt{2}$
解析
设原矩形的长为$a$，宽为$b$，且$a ＞ b$。
对折后矩形的长为$b$，宽为$\frac{a}{2}$。
因为对折后的矩形与原矩形相似，所以$\frac{a}{b} = \frac{b}{\frac{a}{2}}$。
即$\frac{a}{b} = \frac{2b}{a}$，$a^2 = 2b^2$，$\frac{a^2}{b^2} = 2$，$\frac{a}{b} = \sqrt{2}$（负值舍去）。
$\sqrt{2}$
对折后矩形的长为$b$，宽为$\frac{a}{2}$。
因为对折后的矩形与原矩形相似，所以$\frac{a}{b} = \frac{b}{\frac{a}{2}}$。
即$\frac{a}{b} = \frac{2b}{a}$，$a^2 = 2b^2$，$\frac{a^2}{b^2} = 2$，$\frac{a}{b} = \sqrt{2}$（负值舍去）。
$\sqrt{2}$
6. 一个六边形六边长分别为3,4,5,6,7,8,另一个与它相似的六边形的最短边为6,则其周长为
66
.答案
66
解析
原六边形周长为$3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33$。
相似比为$\frac{6}{3}=2$。
所求六边形周长为$33×2 = 66$。
66
相似比为$\frac{6}{3}=2$。
所求六边形周长为$33×2 = 66$。
66
7. 如图,在$□ ABCD$中,$EF// CD$,设$AB= a,BC= b$,若$□ ABFE$,$□ EFCD都与□ ABCD$相似,试确定a与b之间的关系.
答案
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=a，AD=BC=b，AB//CD，AD//BC。
∵EF//CD，∴EF//AB，故四边形ABFE、EFCD均为平行四边形，∴EF=AB=a，AE=BF，ED=FC。
设AE=x，则ED=AD-AE=b-x。
1. □ABFE∽□ABCD
相似多边形对应边成比例，□ABFE的邻边AB、AE与□ABCD的邻边BC、AB对应成比例，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{a}{b}=\frac{x}{a}$，解得$x=\frac{a^2}{b}$。
2. □EFCD∽□ABCD
同理，□EFCD的邻边EF、ED与□ABCD的邻边BC、AB对应成比例，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{ED}{AB}$，即$\frac{a}{b}=\frac{b-x}{a}$。
将$x=\frac{a^2}{b}$代入上式：
$\frac{a}{b}=\frac{b-\frac{a^2}{b}}{a}$，
化简得：$\frac{a}{b}=\frac{b^2-a^2}{ab}$，
两边同乘$ab$：$a^2=b^2-a^2$，
∴$2a^2=b^2$，即$b=\sqrt{2}a$。
结论：$b=\sqrt{2}a$
∵EF//CD，∴EF//AB，故四边形ABFE、EFCD均为平行四边形，∴EF=AB=a，AE=BF，ED=FC。
设AE=x，则ED=AD-AE=b-x。
1. □ABFE∽□ABCD
相似多边形对应边成比例，□ABFE的邻边AB、AE与□ABCD的邻边BC、AB对应成比例，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{a}{b}=\frac{x}{a}$，解得$x=\frac{a^2}{b}$。
2. □EFCD∽□ABCD
同理，□EFCD的邻边EF、ED与□ABCD的邻边BC、AB对应成比例，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{ED}{AB}$，即$\frac{a}{b}=\frac{b-x}{a}$。
将$x=\frac{a^2}{b}$代入上式：
$\frac{a}{b}=\frac{b-\frac{a^2}{b}}{a}$，
化简得：$\frac{a}{b}=\frac{b^2-a^2}{ab}$，
两边同乘$ab$：$a^2=b^2-a^2$，
∴$2a^2=b^2$，即$b=\sqrt{2}a$。
结论：$b=\sqrt{2}a$
