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1. 抛物线 $ y = -x^2 $ 向左平移 2 个单位长度后，得到的抛物线是（ ）
A.$ y = -(x + 2)^2 $
B.$ y = -x^2 + 2 $
C.$ y = -(x - 2)^2 $
D.$ y^2 = -x^2 - 2 $
A.$ y = -(x + 2)^2 $
B.$ y = -x^2 + 2 $
C.$ y = -(x - 2)^2 $
D.$ y^2 = -x^2 - 2 $
答案
A
解析
抛物线平移规律：向左平移$h$个单位，自变量$x$加上$h$。
原抛物线为$y = -x^2$，向左平移2个单位长度，自变量$x$变为$x + 2$，得到的抛物线解析式为$y = -(x + 2)^2$。
A
原抛物线为$y = -x^2$，向左平移2个单位长度，自变量$x$变为$x + 2$，得到的抛物线解析式为$y = -(x + 2)^2$。
A
2. 二次函数 $ y = 3(x + 2)^2 $ 的最小值是（ ）
A.3
B.0
C.-2
D.-3
A.3
B.0
C.-2
D.-3
答案
B
解析
对于二次函数$y = 3(x + 2)^2$，因为$(x + 2)^2 \geq 0$，所以$3(x + 2)^2 \geq 0$，当$x = -2$时，$y$取得最小值$0$。
B
B
3. 对于二次函数 $ y = (x - 1)^2 $，有下列结论：①开口向上；②当 $ x ＞ 2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；③函数图象与 $ x $ 轴没有公共点；④函数有最小值. 其中错误的是______（填序号）.
答案
③
解析
①二次函数$y=(x - 1)^2$，二次项系数为$1\gt0$，开口向上，结论①正确；
②抛物线对称轴为$x=1$，开口向上，当$x\gt1$时，$y$随$x$的增大而增大，因为$x\gt2$包含于$x\gt1$，所以当$x\gt2$时，$y$随$x$的增大而增大，结论②正确；
③令$y=0$，则$(x - 1)^2=0$，解得$x=1$，函数图象与$x$轴有公共点$(1,0)$，结论③错误；
④因为抛物线开口向上，所以函数有最小值，结论④正确。
错误的是③。
②抛物线对称轴为$x=1$，开口向上，当$x\gt1$时，$y$随$x$的增大而增大，因为$x\gt2$包含于$x\gt1$，所以当$x\gt2$时，$y$随$x$的增大而增大，结论②正确；
③令$y=0$，则$(x - 1)^2=0$，解得$x=1$，函数图象与$x$轴有公共点$(1,0)$，结论③错误；
④因为抛物线开口向上，所以函数有最小值，结论④正确。
错误的是③。
4. 抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 有如下特点：①当 $ a ＞ 0 $ 时，开口向______；当 $ a ＜ 0 $ 时，开口向______；②对称轴是直线______；③顶点坐标是______.
答案
上,下,x=h,(h,k)
5. 写出一个顶点是 $ (5,0) $，形状、开口方向与抛物线 $ y = -2x^2 $ 都相同的二次函数解析式______.
答案
$y=-2(x-5)^2$
6. 已知抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 的对称轴是直线 $ x = -1 $，与 $ y $ 轴交于点 $ (0,2) $.
(1)求抛物线所表示的函数的解析式；
(2)画出它的图象；
(3)当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
(1)求抛物线所表示的函数的解析式；
(2)画出它的图象；
(3)当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
答案
$(1)y=2(x+1)^2;(2)$略;
(3)x＜-1
(3)x＜-1
7. 已知某二次函数图象的顶点与抛物线 $ y = (x - 2)^2 $ 的顶点相同，且其图象经过点 $ (-3,9) $，求这个二次函数的解析式.
答案
$y=9/25(x-2)^2$
解析
抛物线$y=(x - 2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$，故设所求二次函数的解析式为$y=a(x - 2)^2$。
因为函数图象经过点$(-3,9)$，将$x=-3$，$y=9$代入解析式可得：
$9=a(-3 - 2)^2$
$9=a×(-5)^2$
$9=25a$
解得$a=\frac{9}{25}$
所以这个二次函数的解析式为$y=\frac{9}{25}(x - 2)^2$
因为函数图象经过点$(-3,9)$，将$x=-3$，$y=9$代入解析式可得：
$9=a(-3 - 2)^2$
$9=a×(-5)^2$
$9=25a$
解得$a=\frac{9}{25}$
所以这个二次函数的解析式为$y=\frac{9}{25}(x - 2)^2$
8. 将抛物线 $ y = ax^2 $ 向右平移 3 个单位长度后经过点 $ (1,4) $，求平移后的抛物线所表示的函数的解析式.
答案
$y=(x-3)^2$
解析
将抛物线$y = ax^2$向右平移3个单位长度，根据抛物线平移规律“左加右减”，平移后的抛物线解析式为$y = a(x - 3)^2$。
因为平移后的抛物线经过点$(1,4)$，将$x = 1$，$y = 4$代入$y = a(x - 3)^2$，可得：
$4 = a(1 - 3)^2$
$4 = a(-2)^2$
$4 = 4a$
解得$a = 1$
所以平移后的抛物线所表示的函数解析式为$y=(x - 3)^2$。
因为平移后的抛物线经过点$(1,4)$，将$x = 1$，$y = 4$代入$y = a(x - 3)^2$，可得：
$4 = a(1 - 3)^2$
$4 = a(-2)^2$
$4 = 4a$
解得$a = 1$
所以平移后的抛物线所表示的函数解析式为$y=(x - 3)^2$。
