1. 在半径为 4 cm 的圆中,挖去一个半径为 $ x $ cm 的圆面,剩下一个圆环的面积为 $ y $ $ cm^2 $,则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为( )

A.$ y = \pi x^2 - 4 $
B.$ y = \pi (2 - x)^2 $
C.$ y = - (x^2 + 4) $
D.$ y = - \pi x^2 + 16 \pi $

D

圆环面积等于大圆面积减去小圆面积。大圆半径为4 cm，其面积为$\pi × 4^2 = 16\pi$ $cm^2$；小圆半径为$x$ cm，其面积为$\pi x^2$ $cm^2$。所以$y = 16\pi - \pi x^2 = -\pi x^2 + 16\pi$。
D

2. 用长为 20 m 的篱笆,一面靠墙(墙的长度是 10 m)围成一个矩形花圃,如图所示。设 $ AB $ 边的长为 $ x $ m,花圃的面积为 $ y $ $ m^2 $,写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式______。
]

$y=-2x^{2}+20x$

解：由题意得，$AB = CD = x$，$BC = 20 - 2x$，则$y = x(20 - 2x) = -2x^2 + 20x$。
$y = -2x^2 + 20x$

3. 如图,已知有一个长为 20 cm、宽为 14 cm 的相框,相框内部镶边,宽为 $ x $ cm,未镶边部分的面积为 $ y $ $ cm^2 $,则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为______。
]

$y=4x^{2}-68x+280$

解：未镶边部分的长为$(20 - 2x)$cm，宽为$(14 - 2x)$cm，
则面积$y=(20 - 2x)(14 - 2x)$，
展开得$y=20×14 - 20×2x - 14×2x + (2x)^2$
$=280 - 40x - 28x + 4x^2$
$=4x^2 - 68x + 280$。
$y=4x^{2}-68x+280$

4. 用 30 cm 的铁丝,折成一个矩形框架,设矩形的一边长为 $ x $ cm,则矩形的另一边长为______cm,矩形的面积 $ S = $______ $ cm^2 $。

$(15-x),(15x-x^{2})$

5. 如图,$ \triangle ABC $ 为等腰直角三角形,$ P_1 $,$ P_2 $ 分别从点 $ A $,$ B $ 出发,速度均为 1 cm/s,$ P_1 $ 运动到点 $ C $ 后 $ P_1 $,$ P_2 $ 同时停止运动,$ AB = 100 $ cm,$ t $ s 后 $ \triangle AP_1P_2 $ 的面积 $ S $ 关于 $ t $ 的函数解析式为______。
]

$S=-\frac{\sqrt{2}}{4}t^{2}+25\sqrt{2}t$

解：在等腰直角三角形$ \triangle ABC $中，$ \angle C = 90° $，$ AB = 100 \, cm $，则$ AC = BC = \frac{AB}{\sqrt{2}} = 50\sqrt{2} \, cm $，$ \angle A = 45° $。
$ t \, s $后，$ AP_1 = t \, cm $，$ BP_2 = t \, cm $，则$ AP_2 = AB - BP_2 = (100 - t) \, cm $。
过$ P_1 $作$ P_1D \perp AB $于$ D $，在$ \triangle AP_1D $中，$ P_1D = AP_1 \cdot \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}t \, cm $。
$ S = \frac{1}{2} \cdot AP_2 \cdot P_1D = \frac{1}{2}(100 - t) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}t = -\frac{\sqrt{2}}{4}t^2 + 25\sqrt{2}t $。
$ S = -\frac{\sqrt{2}}{4}t^2 + 25\sqrt{2}t $

6. 星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为 30 m 的篱笆围成。已知墙长为 18 m(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 $ x $ m。
(1) 若平行于墙的一边的长为 $ y $ m,直接写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式及自变量 $ x $ 的取值范围；
(2) 垂直于墙的一边的长为多少时,这个苗圃园的面积最大？求出这个最大值；
(3) 当这个苗圃园的面积不小于 $ 88 $ $ m^2 $ 时,试结合函数图象,直接写出 $ x $ 的取值范围。
]

(1)$y=30-2x(6\leqslant x＜15)$;
(2)$S=-2x^{2}+30x$,当$x=7.5$时,面积最大为$112.5m^{2}$;
(3)$6\leqslant x\leqslant11$