1. 在下列四个图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )

C

2. 下列四个图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )

A.等边三角形
B.菱形
C.直角三角形
D.平行四边形

D

A. 等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
B. 菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形；
C. 直角三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形；
D. 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形。
D

3. 直线 $ y = x + 1 $ 关于点 $ P(1,0) $ 成中心对称的直线的解析式为______.

$ y=x-3 $

设所求直线上任意一点坐标为$(x,y)$，该点关于点$P(1,0)$的对称点为$(x',y')$。
因为点$(x,y)$与$(x',y')$关于点$P(1,0)$对称，所以$\frac{x+x'}{2}=1$，$\frac{y+y'}{2}=0$，解得$x'=2 - x$，$y'= - y$。
由于点$(x',y')$在直线$y = x + 1$上，所以$y' = x' + 1$，即$-y = (2 - x) + 1$。
化简得$-y = 3 - x$，则$y = x - 3$。
$y=x-3$

4. 如图,点 $ O $ 是矩形 $ ABCD $ 的对称中心,点 $ E $ 在边 $ AB $ 上,连接 $ CE $. 若 $ B $ 与点 $ O $ 关于 $ CE $ 对称,则 $ \frac{CB}{AB} $ 的值为______.

$ \frac{\sqrt{3}}{3} $

解：连接 $BO$，交 $CE$ 于点 $F$。
∵点 $O$ 是矩形 $ABCD$ 对称中心，
∴$O$ 为对角线 $AC$、$BD$ 的交点，设 $AB=CD=2a$，$CB=AD=2b$，则 $AO=OC$，$BO=OD$，$O$ 坐标为 $(a,b)$，$B(2a,2b)$。
∵$B$ 与 $O$ 关于 $CE$ 对称，
∴$CE$ 垂直平分 $BO$，即 $F$ 为 $BO$ 中点，$CE \perp BO$。
$F$ 坐标为 $\left(\frac{2a+a}{2},\frac{2b+b}{2}\right)=\left(\frac{3a}{2},\frac{3b}{2}\right)$。
设 $E(x,0)$，$C(2a,2b)$，则 $CE$ 斜率 $k_{CE}=\frac{2b-0}{2a-x}=\frac{2b}{2a-x}$，$BO$ 斜率 $k_{BO}=\frac{2b-b}{2a-a}=\frac{b}{a}$。
∵$CE \perp BO$，
∴$k_{CE} \cdot k_{BO}=-1$，即 $\frac{2b}{2a-x} \cdot \frac{b}{a}=-1$，得 $2b^2=-a(2a-x)$，$x=2a+\frac{2b^2}{a}$。
又 $F$ 在 $CE$ 上，$CE$ 方程：$y=\frac{2b}{2a-x}(X-x)$，将 $F\left(\frac{3a}{2},\frac{3b}{2}\right)$ 代入得：
$\frac{3b}{2}=\frac{2b}{2a-x}\left(\frac{3a}{2}-x\right)$，结合 $2a-x=-\frac{2b^2}{a}$（由 $x=2a+\frac{2b^2}{a}$ 得），
解得 $a^2=3b^2$，即 $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
∴$\frac{CB}{AB}=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
$\frac{\sqrt{3}}{3}$

5. 如图,$ \triangle ABC $ 是等边三角形,$ AO = OB = 2 $,$ OC \perp AB $,$ \angle AOP = 60° $,$ OP $ 绕 $ O $ 逆时针旋转 $ 60° $,点 $ P $ 落在点 $ P' $ 处,求点 $ P $,$ P' $ 的坐标.

$ P(-1,-\sqrt{3}),P'(1,-\sqrt{3}) $

6. 如图,$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A'B'C' $ 关于点 $ O $ 中心对称,但点 $ O $ 不慎被涂掉了,请你帮忙找到对称中心 $ O $ 的位置.

对称中心 $ O $ 位于 $ B $ 与 $ B' $ 连线的中点，同时也是 $ C $ 与 $ C' $ 连线的中点。

解题步骤如下：
连接 $ B $ 和 $ B' $，并找到其中点 $ O_1 $。
连接 $ C $ 和 $ C' $，并找到其中点 $ O_2 $。
对称中心 $ O $ 为 $ O_1 $ 和 $ O_2 $ 的重合点（即两条中垂线的交点）。
解释（简化去除了）：根据中心对称的性质，对称中心 $ O $ 是对应点连线的中点。
通过作图可知，对称中心 $ O $ 位于 $ B $ 与 $ B' $、$ C $ 与 $ C' $ 连线的中点交点处。
最终