1. 下列四个圆形图案中,分别以它们所在圆的圆心为旋转中心,顺时针旋转 $120^{\circ}$ 后,能与原图形完全重合的是( )

A.
B.
C.
D.

A

2. 如图,三角形 $ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到三角形 $AB_{1}C_{1}$,已知 $\angle ABC = 30^{\circ}$,$\angle AB_{1}B = 60^{\circ}$,则 $\angle BB_{1}C_{1}$ 的度数为( )

A.$80^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$100^{\circ}$
D.$110^{\circ}$

B

证明：由旋转性质得，$AB=AB_{1}$，$\angle AB_{1}C_{1}=\angle ABC=30^{\circ}$。
$\because AB=AB_{1}$，$\angle AB_{1}B=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle AB_{1}B$是等边三角形，
$\therefore \angle AB_{1}B=\angle ABB_{1}=60^{\circ}$。
$\because$ 点$B$，$B_{1}$，$C_{1}$共线，
$\therefore \angle BB_{1}C_{1}=180^{\circ}-\angle AB_{1}B-\angle AB_{1}C_{1}=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$。
答案：B

3. 如图,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点. 这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心 $O$ 至少经过______次旋转得到,每一次旋转______度.
第2题图：
第3题图：

第4题图：
第5题图：

4,72

4. 如图,已知梯形 $ABCD$ 中,$AD// BC$,$\angle B = 90^{\circ}$,$AD = 3$,$BC = 5$,$AB = 4$,把线段 $CD$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 到 $DE$ 的位置,连接 $AE$,则 $AE$ 的长为______.

√53

解：过点 $D$ 作 $DF \perp BC$ 于点 $F$，则四边形 $ABFD$ 为矩形，$BF = AD = 3$，$DF = AB = 4$，$FC = BC - BF = 5 - 3 = 2$。
过点 $E$ 作 $EG \perp AD$ 交 $AD$ 延长线于点 $G$。
因为 $CD$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90°$ 到 $DE$，所以 $DE = CD$，$\angle CDE = 90°$，$\angle CDG + \angle EDG = 90°$。
又因为 $\angle CDF + \angle CDG = 90°$，所以 $\angle CDF = \angle EDG$。
在 $\triangle CDF$ 和 $\triangle EDG$ 中，$\angle CDF = \angle EDG$，$\angle CFD = \angle EGD = 90°$，$CD = DE$，所以 $\triangle CDF \cong \triangle EDG$（AAS）。
则 $EG = DF = 4$，$DG = FC = 2$，$AG = AD + DG = 3 + 2 = 5$。
在 $Rt\triangle AEG$ 中，$AE = \sqrt{AG^2 + EG^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}$。
$\sqrt{41}$

5. 如图,两个边长相等的正方形 $ABCD$ 与 $CDEF$,将其中一个正方形绕某点旋转一定角度能与另一个正方形重合,这样的旋转中心有______个.

3

6. 如图,$Rt\triangle ABC$ 中,$AC = 6$,$BC = 8$,$\angle C = 90^{\circ}$. 将 $\triangle ABC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$.
(1)画出旋转后的三角形；
(2)求点 $A$ 所经过的路线的长度.
第6题图：

(1)略;
(2)5π