1. 如图,$\triangle APB$ 与 $\triangle CDP$ 是两个全等的等边三角形,且 $PA\perp PD$,垂足为 $P$,有下列四个结论：① $\angle PBC = 15^{\circ}$；② $AD// BC$；③ $PC\perp AB$.其中正确的有( )

A.$0$ 个
B.$1$ 个
C.$2$ 个
D.$3$ 个

D

2. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$\angle C = 30^{\circ}$,点 $D$ 在 $BC$ 上,$AB\perp AD$,垂足为 $A$,$AD = 2$,则 $BC$ 等于( )

A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$8$

C

3. 将含 $30^{\circ}$ 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知 $\angle\alpha = 60^{\circ}$,点 $B$,$C$ 表示的刻度分别为 $1\mathrm{cm}$,$3\mathrm{cm}$,则线段 $AB$ 的长为______$\mathrm{cm}$.

2

4. 如图,点 $P$ 在 $\angle MON$ 内,点 $P$ 关于 $OM$,$ON$ 的对称点分别为 $E$,$F$,若 $EF = OP$,则 $\angle MON$ 的度数是______.

30°

5. 如图,$\angle AOB = 60^{\circ}$,$OA = OB$,动点 $C$ 从点 $O$ 出发,在边 $OB$ 上移动,以 $AC$ 为边在直线 $AC$ 右侧作等边三角形 $ACD$,连接 $BD$.
(1)找出图中的一对全等三角形,并说明理由.
(2)求证：$BD// OA$.

​ (1)​解：​∆OAC≌∆BAD，​理由如下：
∵​∠AOB=60°，​​OA=OB，​∴​∆AOB​是等边三角形
∴​OA=AB，​​∠OAB=60°​
∵​∆ACD​是等边三角形，∴​AC=AD，​​∠CAD=60°​
∴​∠OAC+∠CAB=∠BAD+∠CAB=60°，​即​∠OAC=∠BAD​
​ ​在​∆OAC​和​∆BAD​中
$​\begin {cases} OA=BA\\∠OAC=∠BAD\\AC=AD \end {cases}​$
∴​∆OAC≌∆BAD(S AS)​
​ (2)​证明：由​(1)​知​∆OAC≌∆BAD​
∴​∠ABD=∠AOC=60°​
∵​∆AOB​是等边三角形，∴​∠OBA=60°​
∴​∠OBD=∠OBA+∠ABD=60°+60°=120°​
又∵​∠AOB=60°，​∴​∠OBD+∠AOB=180°​
∴​BD//OA​