12. 有一个多项式 $a^{10}-a^{9}b + a^{8}b^{2}-a^{7}b^{3}+…$,按照这样的规律写下去,你知道第 $7$ 项是什么吗？最后一项呢？这是一个几次几项式？有什么规律？

解:可以看出,从左到右$a$的指数逐次减1,$b$的指数逐次加1,所以第7项是$a^{4}b^{6}$,最后一项是$b^{10}$,这是一个关于$a$,$b$的十次十一项式,它的第$n$项是$(-1)^{n+1}\cdot a^{11-n}b^{n-1}$。

解:观察多项式可得，从左到右$a$的指数逐次减1，$b$的指数逐次加1，系数正负交替且奇数项为正，偶数项为负。
第1项：$a^{10}b^{0}=(-1)^{1+1}a^{11-1}b^{1-1}$
第2项：$-a^{9}b^{1}=(-1)^{2+1}a^{11-2}b^{2-1}$
第3项：$a^{8}b^{2}=(-1)^{3+1}a^{11-3}b^{3-1}$
……
则第$n$项为$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$。
第7项：当$n=7$时，$(-1)^{7+1}a^{11-7}b^{7-1}=a^{4}b^{6}$。
最后一项：当$a$的指数为0时，$11-n=0$，$n=11$，此时该项为$(-1)^{11+1}a^{0}b^{10}=b^{10}$。
该多项式最高次项为$a^{10}$和$b^{10}$，次数为10，共有11项，所以是关于$a$，$b$的十次十一项式。
综上，第7项是$a^{4}b^{6}$，最后一项是$b^{10}$，这是一个十次十一项式，第$n$项是$(-1)^{n+1}a^{11-n}b^{n-1}$。

13. 【数学应用】如图,在边长为 $x$ 的正方形硬纸片上剪去两个直径为 $x$ 的半圆,所剩部分(图中阴影部分)的面积是多少？

$x^{2}-\dfrac{\pi x^{2}}{4}$

正方形面积为$x^2$，两个直径为$x$的半圆面积和为$\pi\left(\dfrac{x}{2}\right)^2=\dfrac{\pi x^2}{4}$，所剩部分面积是$x^2 - \dfrac{\pi x^2}{4}$。

14. 【综合与实践】阅读下列材料,完成相应的任务：
对称式
一个含有多个字母的代数式中,如果任意交换两个字母的位置,代数式的值都不变,这样的代数式就叫作对称式。
例如代数式 $abc$ 中任意两个字母交换位置,可得到代数式 $bac$,$acb$,$cba$,因为 $abc = bac = acb = cba$,所以 $abc$ 是对称式；而代数式 $a - b$ 中字母 $a$,$b$ 交换位置,得到代数式 $b - a$,因为 $a - b$ 与 $b - a$ 可能不相等,所以 $a - b$ 不是对称式。
任务一：下列四个代数式中,是对称式的是(填序号)。
① $a + b + c$；② $a^{2}+b^{2}$；③ $a^{2}b$；④ $\frac{a}{b}$。
任务二：写出一个只含有字母 $x$,$y$ 的单项式,使该单项式是对称式,且次数为 $6$ 次。

①② $x^{3}y^{3}$(答案不唯一)