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5. 若关于$x的方程\frac{x + 1}{2} - 1 = m与1 - \frac{1 - x}{3} = 2 - \frac{m + 1}{2}$的解互为相反数,求$m$的值.
答案
解方程$\frac{x+1}{2}-1=m$,得$x=2m+1$,解方程$1-\frac{1-x}{3}=2-\frac{m+1}{2}$,得$x=\frac{5-3m}{2}$,由题意,得$2m+1+\frac{5-3m}{2}=0$,解得$m=-7$.
解析
解方程$\frac{x + 1}{2} - 1 = m$：
$\begin{aligned}\frac{x + 1}{2} - 1 &= m \\frac{x + 1}{2} &= m + 1 \\x + 1 &= 2(m + 1) \\x + 1 &= 2m + 2 \\x &= 2m + 1\end{aligned}$
解方程$1 - \frac{1 - x}{3} = 2 - \frac{m + 1}{2}$：
$\begin{aligned}1 - \frac{1 - x}{3} &= 2 - \frac{m + 1}{2} \\6 - 2(1 - x) &= 12 - 3(m + 1) \\6 - 2 + 2x &= 12 - 3m - 3 \\4 + 2x &= 9 - 3m \\2x &= 5 - 3m \\x &= \frac{5 - 3m}{2}\end{aligned}$
因为两方程的解互为相反数，所以$2m + 1 + \frac{5 - 3m}{2} = 0$：
$\begin{aligned}2(2m + 1) + 5 - 3m &= 0 \\4m + 2 + 5 - 3m &= 0 \\m + 7 &= 0 \\m &= -7\end{aligned}$
$m=-7$
$\begin{aligned}\frac{x + 1}{2} - 1 &= m \\frac{x + 1}{2} &= m + 1 \\x + 1 &= 2(m + 1) \\x + 1 &= 2m + 2 \\x &= 2m + 1\end{aligned}$
解方程$1 - \frac{1 - x}{3} = 2 - \frac{m + 1}{2}$：
$\begin{aligned}1 - \frac{1 - x}{3} &= 2 - \frac{m + 1}{2} \\6 - 2(1 - x) &= 12 - 3(m + 1) \\6 - 2 + 2x &= 12 - 3m - 3 \\4 + 2x &= 9 - 3m \\2x &= 5 - 3m \\x &= \frac{5 - 3m}{2}\end{aligned}$
因为两方程的解互为相反数，所以$2m + 1 + \frac{5 - 3m}{2} = 0$：
$\begin{aligned}2(2m + 1) + 5 - 3m &= 0 \\4m + 2 + 5 - 3m &= 0 \\m + 7 &= 0 \\m &= -7\end{aligned}$
$m=-7$
6. 如果$a$,$b为定值且关于x的方程\frac{2kx + a}{3} = 2 + \frac{x - bk}{6}$,无论$k$为何值时,它的解总是2,求$a$,$b$的值.
答案
把$x=2$代入方程$\frac{2kx+a}{3}=2+\frac{x-bk}{6}$,得$\frac{4k+a}{3}=2+\frac{2-bk}{6}$,去分母,得$(8+b)k=14-2a$,由题意,得$8+b=0$,解得$a=7,b=-8$.
解析
把$x = 2$代入方程$\frac{2kx + a}{3}=2+\frac{x - bk}{6}$，得$\frac{4k + a}{3}=2+\frac{2 - bk}{6}$。
去分母，两边同乘6，得$2(4k + a)=12 + (2 - bk)$。
去括号，得$8k + 2a=12 + 2 - bk$。
移项、合并同类项，得$(8 + b)k + 2a - 14=0$，即$(8 + b)k=14 - 2a$。
因为无论$k$为何值，方程的解总是2，所以$8 + b=0$且$14 - 2a=0$。
由$8 + b=0$，解得$b=-8$；由$14 - 2a=0$，解得$a=7$。
综上，$a=7$，$b=-8$。
去分母，两边同乘6，得$2(4k + a)=12 + (2 - bk)$。
去括号，得$8k + 2a=12 + 2 - bk$。
移项、合并同类项，得$(8 + b)k + 2a - 14=0$，即$(8 + b)k=14 - 2a$。
因为无论$k$为何值，方程的解总是2，所以$8 + b=0$且$14 - 2a=0$。
由$8 + b=0$，解得$b=-8$；由$14 - 2a=0$，解得$a=7$。
综上，$a=7$，$b=-8$。
7. 已知关于$x的方程\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}与方程\frac{x - 1}{2} = 3x - 2$的解互为倒数,求$2m^{2} - 4m + 3$的值.
答案
解方程$\frac{x-m}{2}=x+\frac{m}{3}$,得$x=-\frac{5m}{3}$;解方程$\frac{x-1}{2}=3x-2$,得$x=\frac{3}{5}$. $\because -\frac{5m}{3}×\frac{3}{5}=1$,$\therefore m=-1$. 当$m=-1$时, $2m^{2}-4m+3=2+4+3=9$.
解析
解方程$\frac{x - 1}{2} = 3x - 2$，
两边同乘2得：$x - 1 = 6x - 4$，
移项得：$x - 6x = -4 + 1$，
合并同类项得：$-5x = -3$，
解得：$x = \frac{3}{5}$。
因为两个方程的解互为倒数，所以方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$的解为$\frac{5}{3}$。
解方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$，
两边同乘6得：$3(x - m) = 6x + 2m$，
去括号得：$3x - 3m = 6x + 2m$，
移项得：$3x - 6x = 2m + 3m$，
合并同类项得：$-3x = 5m$，
解得：$x = -\frac{5m}{3}$。
由题意得$-\frac{5m}{3} = \frac{5}{3}$，
两边同乘3得：$-5m = 5$，
解得：$m = -1$。
当$m = -1$时，$2m^2 - 4m + 3 = 2×(-1)^2 - 4×(-1) + 3 = 2×1 + 4 + 3 = 2 + 4 + 3 = 9$。
$9$
两边同乘2得：$x - 1 = 6x - 4$，
移项得：$x - 6x = -4 + 1$，
合并同类项得：$-5x = -3$，
解得：$x = \frac{3}{5}$。
因为两个方程的解互为倒数，所以方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$的解为$\frac{5}{3}$。
解方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$，
两边同乘6得：$3(x - m) = 6x + 2m$，
去括号得：$3x - 3m = 6x + 2m$，
移项得：$3x - 6x = 2m + 3m$，
合并同类项得：$-3x = 5m$，
解得：$x = -\frac{5m}{3}$。
由题意得$-\frac{5m}{3} = \frac{5}{3}$，
两边同乘3得：$-5m = 5$，
解得：$m = -1$。
当$m = -1$时，$2m^2 - 4m + 3 = 2×(-1)^2 - 4×(-1) + 3 = 2×1 + 4 + 3 = 2 + 4 + 3 = 9$。
$9$
