11. 某居民小组正在进行美丽乡村建设,为了提升居民的幸福指数,现规划将一块长 $(9a - 1)m$、宽 $(3b - 5)m$ 的长方形场地(如图)打造成居民健身场所,具体规划为：在这块场地中分割出一块长 $(3a + 1)m$、宽 $b m$ 的长方形场地建篮球场,其余的地方安装各种健身器材。
(1) 求安装健身器材的区域面积；
(2) 当 $a = 9$,$b = 15$ 时,求安装健身器材的区域面积。

(1) 长方形场地面积：$(9a - 1)(3b - 5)$
$= 9a \cdot 3b + 9a \cdot (-5) - 1 \cdot 3b + (-1) \cdot (-5)$
$= 27ab - 45a - 3b + 5$
篮球场面积：$(3a + 1)b = 3ab + b$
安装健身器材区域面积：$(27ab - 45a - 3b + 5) - (3ab + b)$
$= 27ab - 45a - 3b + 5 - 3ab - b$
$= 24ab - 45a - 4b + 5$
(2) 当$a = 9$，$b = 15$时，
$24ab - 45a - 4b + 5$
$= 24×9×15 - 45×9 - 4×15 + 5$
$= 3240 - 405 - 60 + 5$
$= 2780$
答：(1) 安装健身器材的区域面积为$(24ab - 45a - 4b + 5)m^2$；(2) 当$a = 9$，$b = 15$时，安装健身器材的区域面积为$2780m^2$。

【典型例题1】计算：
(1) $ a^{7} ÷ a^{4} $；(2) $ \left( \dfrac{3}{5} \right)^{10} ÷ \left( \dfrac{3}{5} \right)^{8} $；
(3) $ (xy)^{4} ÷ (xy) $；(4) $ -1^{0} + (-2)^{0} $.

思路导引 按照同底数幂的除法与零指数幂的运算性质直接计算即可.
【解】
(1) $ a^{7} ÷ a^{4} = a^{7 - 4} = a^{3} $.
(2) $ \left( \dfrac{3}{5} \right)^{10} ÷ \left( \dfrac{3}{5} \right)^{8} = \left( \dfrac{3}{5} \right)^{10 - 8} = \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} = \dfrac{9}{25} $.
(3) $ (xy)^{4} ÷ (xy) = (xy)^{4 - 1} = (xy)^{3} = x^{3}y^{3} $.
(4) $ -1^{0} + (-2)^{0} = -1 + 1 = 0 $.

1. 下列计算正确的是()

A.$ x^{10} ÷ (x^{7} ÷ x^{2}) = x^{5} $
B.$ (xy)^{8} ÷ (xy)^{4} = (xy)^{2} $
C.$ x^{4n} ÷ x^{2n} \cdot x^{2n} = 1 $
D.$ x^{2(m + 1)} ÷ x^{m + 1} = x^{2} $

A

A. 根据幂的除法法则，有 $x^{m} ÷ x^{n} = x^{m-n}$。
所以， $x^{10} ÷ (x^{7} ÷ x^{2}) = x^{10} ÷ x^{5} = x^{10-5} = x^{5}$，与选项A一致，所以A正确。
B. 根据幂的除法法则，有 $(xy)^{m} ÷ (xy)^{n} = (xy)^{m-n}$。
所以，$(xy)^{8} ÷ (xy)^{4} = (xy)^{8-4} = (xy)^{4}$，与选项B不一致，所以B错误。
C. 根据幂的除法和乘法法则，有 $x^{m} ÷ x^{n} = x^{m-n}$ 和 $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m+n}$。
所以，$x^{4n} ÷ x^{2n} \cdot x^{2n} = x^{4n-2n+2n} = x^{4n}$，与选项C不一致，所以C错误。
D. 根据幂的除法法则，有 $x^{m} ÷ x^{n} = x^{m-n}$。
所以，$x^{2(m + 1)} ÷ x^{m + 1} = x^{2m + 2 - m - 1} = x^{m + 1}$，与选项D不一致，所以D错误。