8. 如图,在△ABC 中,AE 平分∠BAC,∠B = 40°,∠C = 70°,F 为射线 AE 上一点(不与点 E 重合),且 FD⊥BC 于点 D。

(1)若点 F 与点 A 重合,如图 1,求∠EFD 的度数；
(2)若点 F 在线段 AE 上(不与点 A 重合),如图 2,求∠EFD 的度数；
(3)若点 F 在△ABC 外部,如图 3,求∠EFD 的度数；
(4)直接写出∠EFD 与∠B,∠C(∠C ＞ ∠B)的数量关系。

(1)15°；(2)15°；(3)15°；(4)∠EFD=(∠C-∠B)/2。

(1)在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°。
∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC/2=35°。
在△AEC中，∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-70°-35°=75°。
∵FD⊥BC（F与A重合），∴∠FDE=90°。
在Rt△FDE中，∠EFD=90°-∠AEC=90°-75°=15°。
(2)同(1)，∠AEC=75°。
∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°。
在Rt△FDE中，∠EFD=90°-∠AEC=90°-75°=15°。
(3)∵AE平分∠BAC，∠BAC=70°，∴∠CAE=35°。
在△AEC中，∠AEC=75°，则∠AEB=180°-∠AEC=105°。
∵F在AE延长线上，FD⊥BC，∴∠FDE=90°。
∠FED=∠AEC=75°（对顶角相等）。
在Rt△FDE中，∠EFD=90°-∠FED=90°-75°=15°。
(4)∠EFD=(∠C-∠B)/2。

【典型例题1】如图,△ABC的外角是()

A.∠1
B.∠2
C.∠3
D.∠4

C

根据三角形外角定义，三角形的一边与另一边的延长线组成的角是三角形的外角。∠3是△ABC的边AB的延长线与边BC组成的角，符合外角定义；∠1是对顶角，∠2是△ABC的内角，∠4是邻补角但不是三角形一边延长线与另一边组成的角。故△ABC的外角是∠3。

1. 如图,请写出△ABC的两个外角：,。

∠FAC ，∠ACE

三角形的外角是与一个内角相邻的公共边与另一条边的反向延长线所组成的角。在△ABC中，角BAC相邻的外角是角FAC，角ACB相邻的外角是角ACE（答案不唯一，也可以是角BCD等符合条件的角，这里按所给图选两个典型外角）。

【典型例题2】如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,CD是△ABC的外角∠ACE的平分线。若∠A = 80°,求∠D的度数。

【解】∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC。
∵CD是∠ACE的平分线,
∴∠DCE = $\frac{1}{2}$∠ACE。
∵∠DCE是△BDC的外角,∠ACE是△ABC的外角,
∴∠D = ∠DCE - ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ACE - $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$(∠ACE - ∠ABC) = $\frac{1}{2}$∠A = $\frac{1}{2}$×80° = 40°。