5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AB = 15$,分别以$AC$,$BC为边向\triangle ABC$外作正方形,两个正方形的面积分别记为$S_{1}$,$S_{2}$,则$S_{1} + S_{2}$等于()

A.30
B.150
C.200
D.225

D

在直角三角形$\triangle ABC$中，根据勾股定理有$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$。
已知$AB = 15$，则$AB^{2} = 15^{2} = 225$。
因为$S_{1}$和$S_{2}$分别是以$AC$和$BC$为边的正方形的面积，所以$S_{1} = AC^{2}$，$S_{2} = BC^{2}$。
则$S_{1} + S_{2} = AC^{2} + BC^{2} = AB^{2} = 225$。

6. 以 5,12 为直角边的直角三角形斜边长为()
A.25
B.13
C.10
D.5

B

根据勾股定理，直角三角形的斜边长 $c$ 满足 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$，其中 $a$ 和 $b$ 是两条直角边的长度。
这里 $a = 5$，$b = 12$，所以 $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$。

7. 如图,东西方向上有$A$,$C$两地相距 10 km. 甲以 16 km/h 的速度从$A$地出发向正东方向前进,乙以 12 km/h 的速度从$C$地出发向正南方向前进,$AC\perp DC$,甲,乙两人同时出发,当出发 0.4 h 时,甲,乙两人之间的距离为()

A.6 km
B.7 km
C.5 km
D.8 km

A

由题意知，AC=10km，甲从A向正东行驶0.4h，路程AB=16×0.4=6.4km，所以BC=AC-AB=10-6.4=3.6km；乙从C向正南行驶0.4h，路程CD=12×0.4=4.8km。因为AC⊥DC，所以BC⊥CD，在Rt△BCD中，BD²=BC²+CD²=3.6²+4.8²=12.96+23.04=36，故BD=6km。

8. 在三边分别为下列长度的三角形中,是直角三角形的是()
A.$3^{2}$,$4^{2}$,$5^{2}$
B.6,8,10
C.4,5,6
D.$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{5}$

B

要判断三角形是否为直角三角形，需验证是否满足勾股定理，即最长边的平方等于其他两边的平方和。
A. $3^2 = 9, 4^2 = 16, 5^2 = 25$，$9 + 16 = 25$（25等于25，但边长为$3^2,4^2,5^2$的三角形，实际应为$9,16,25$，而$9+16=25$不满足三角形两边之和大于第三边，且$9^2+16^2 \neq 25^2$，所以不是直角三角形，此选项错误）；
B. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，满足勾股定理，所以是直角三角形，此选项正确；
C. $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，不满足勾股定理，所以不是直角三角形，此选项错误；
D.$\left(\frac{1}{3}\right)^2 +\left ( \frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{16} = \frac{25}{144}$，$\left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}$，不满足勾股定理，所以不是直角三角形，此选项错误。