登录
【例3】不改变分式的值,使下列分式的分子和分母不含“$-$”号。
(1)$\frac{-2a}{b}$；(2)$\frac{-4x}{-5y}$；(3)$\frac{3m}{-n}$；(4)$-\frac{2b}{-3c}$。
(1)$\frac{-2a}{b}$；(2)$\frac{-4x}{-5y}$；(3)$\frac{3m}{-n}$；(4)$-\frac{2b}{-3c}$。
答案
(1)$\frac{-2a}{b}=-\frac{2a}{b}$；
(2)$\frac{-4x}{-5y}=\frac{4x}{5y}$；
(3)$\frac{3m}{-n}=-\frac{3m}{n}$；
(4)$-\frac{2b}{-3c}=\frac{2b}{3c}$。
(2)$\frac{-4x}{-5y}=\frac{4x}{5y}$；
(3)$\frac{3m}{-n}=-\frac{3m}{n}$；
(4)$-\frac{2b}{-3c}=\frac{2b}{3c}$。
4. 分式$-\frac{1}{1 - x}$可变形为(
A.$-\frac{1}{x - 1}$
B.$\frac{1}{x - 1}$
C.$-\frac{1}{1 + x}$
D.$\frac{1}{1 + x}$
B
)A.$-\frac{1}{x - 1}$
B.$\frac{1}{x - 1}$
C.$-\frac{1}{1 + x}$
D.$\frac{1}{1 + x}$
答案
B
解析
原式为 $-\frac{1}{1 - x}$，
根据分式的基本性质，分母 $1 - x$ 可以写成 $-(x - 1)$，
因此，$-\frac{1}{1 - x} = -\frac{1}{-(x - 1)} = \frac{1}{x - 1}$，
与选项对比，发现与选项 B 一致。
根据分式的基本性质，分母 $1 - x$ 可以写成 $-(x - 1)$，
因此，$-\frac{1}{1 - x} = -\frac{1}{-(x - 1)} = \frac{1}{x - 1}$，
与选项对比，发现与选项 B 一致。
5. 与分式$\frac{-a + b}{-a - b}$相等的是(
A.$\frac{a - b}{a + b}$
B.$-\frac{a + b}{a - b}$
C.$\frac{a + b}{a - b}$
D.$-\frac{a - b}{a + b}$
A
)A.$\frac{a - b}{a + b}$
B.$-\frac{a + b}{a - b}$
C.$\frac{a + b}{a - b}$
D.$-\frac{a - b}{a + b}$
答案
A
解析
原式为$\frac{-a + b}{-a - b}$，
分子分母同时乘以$-1$得：
$\frac{(-1) × (-a + b)}{(-1) × (-a - b)} = \frac{a - b}{a + b}$
与选项对比，发现与选项A一致。
分子分母同时乘以$-1$得：
$\frac{(-1) × (-a + b)}{(-1) × (-a - b)} = \frac{a - b}{a + b}$
与选项对比，发现与选项A一致。
1. 下列各式从左到右的变形中,正确的是(
A.$\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}= \frac{x + y}{xy}$
B.$\frac{y}{x}= \frac{y^{2}}{xy}$
C.$\frac{a + b}{a - b}= \frac{a^{2}-b^{2}}{(a - b)^{2}}$
D.$\frac{-a + b}{a}= -\frac{a + b}{a}$
C
)A.$\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}= \frac{x + y}{xy}$
B.$\frac{y}{x}= \frac{y^{2}}{xy}$
C.$\frac{a + b}{a - b}= \frac{a^{2}-b^{2}}{(a - b)^{2}}$
D.$\frac{-a + b}{a}= -\frac{a + b}{a}$
答案
C
解析
A. 对于$\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}$，分子和分母没有公因式，因此不能简化为$\frac{x + y}{xy}$，所以A选项错误。
B. 对于$\frac{y}{x}$，如果将其转化为$\frac{y^{2}}{xy}$，我们看到分子乘上了y，但是分母乘上了x，这不是等价的变形（除非x=y，但题目没有给出这样的条件），所以B选项错误。
C. 对于$\frac{a + b}{a - b}$，如果分子分母同时乘以(a-b)（注意，a≠b，否则分母为0，分式无意义），则可以得到$\frac{(a + b)(a - b)}{(a - b)^{2}} = \frac{a^{2} - b^{2}}{(a - b)^{2}}$，所以C选项正确。
D. 对于$\frac{-a + b}{a}$，如果将其转化为$-\frac{a + b}{a}$，这不是等价的变形，因为$\frac{-a + b}{a} = -\frac{a - b}{a}$，与$-\frac{a + b}{a}$不同，所以D选项错误。
B. 对于$\frac{y}{x}$，如果将其转化为$\frac{y^{2}}{xy}$，我们看到分子乘上了y，但是分母乘上了x，这不是等价的变形（除非x=y，但题目没有给出这样的条件），所以B选项错误。
C. 对于$\frac{a + b}{a - b}$，如果分子分母同时乘以(a-b)（注意，a≠b，否则分母为0，分式无意义），则可以得到$\frac{(a + b)(a - b)}{(a - b)^{2}} = \frac{a^{2} - b^{2}}{(a - b)^{2}}$，所以C选项正确。
D. 对于$\frac{-a + b}{a}$，如果将其转化为$-\frac{a + b}{a}$，这不是等价的变形，因为$\frac{-a + b}{a} = -\frac{a - b}{a}$，与$-\frac{a + b}{a}$不同，所以D选项错误。
2. 若把分式$\frac{a + b}{3ab}$中的a,$b都扩大为原来的3$倍,则分式的值(
A.扩大为原来的$3$倍
B.扩大为原来的$9$倍
C.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
D.不变
C
)A.扩大为原来的$3$倍
B.扩大为原来的$9$倍
C.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
D.不变
答案
C。
解析
将$a$和$b$都扩大为原来的3倍，即$a$变为$3a$，$b$变为$3b$，代入分式得：
$\frac{3a + 3b}{3 × 3a × 3b} = \frac{3(a + b)}{27ab} = \frac{a + b}{9ab}$。
原分式为$\frac{a + b}{3ab}$，所以新分式是原分式的$\frac{1}{3}$，即分式的值缩小为原来的$\frac{1}{3}$。
$\frac{3a + 3b}{3 × 3a × 3b} = \frac{3(a + b)}{27ab} = \frac{a + b}{9ab}$。
原分式为$\frac{a + b}{3ab}$，所以新分式是原分式的$\frac{1}{3}$，即分式的值缩小为原来的$\frac{1}{3}$。
3. (1)下列对分式$-\frac{1}{1 - x}$的变形正确的是(
A. $\frac{1}{x - 1}$
B. $-\frac{1}{x - 1}$
C. $-\frac{1}{x + 1}$
D. $\frac{1}{x + 1}$
(2)在下列各式中,与分式$\frac{-a}{a - b}$的值相等的是(
A. $\frac{a}{-a - b}$
B. $\frac{a}{a + b}$
C. $\frac{a}{b - a}$
D. $-\frac{a}{b - a}$
A
)A. $\frac{1}{x - 1}$
B. $-\frac{1}{x - 1}$
C. $-\frac{1}{x + 1}$
D. $\frac{1}{x + 1}$
(2)在下列各式中,与分式$\frac{-a}{a - b}$的值相等的是(
C
)A. $\frac{a}{-a - b}$
B. $\frac{a}{a + b}$
C. $\frac{a}{b - a}$
D. $-\frac{a}{b - a}$
答案
(1)A
(2)C
(2)C
解析
(1)对分式$-\frac{1}{1 - x}$变形，分母$1 - x$可变形为$-(x - 1)$，则$-\frac{1}{1 - x}=-\frac{1}{-(x - 1)}=\frac{1}{x - 1}$。
(2)对$\frac{-a}{a - b}$变形，$\frac{-a}{a - b}=\frac{a}{-(a - b)}=\frac{a}{b - a}$。
(2)对$\frac{-a}{a - b}$变形，$\frac{-a}{a - b}=\frac{a}{-(a - b)}=\frac{a}{b - a}$。
4. 对于分式$\frac{-x + 2}{3 - x}$,下列变形正确的是(
A.$-\frac{x + 2}{3 - x}$
B.$\frac{x - 2}{x - 3}$
C.$\frac{x + 2}{-3 - x}$
D.$\frac{x + 2}{x - 3}$
B
)A.$-\frac{x + 2}{3 - x}$
B.$\frac{x - 2}{x - 3}$
C.$\frac{x + 2}{-3 - x}$
D.$\frac{x + 2}{x - 3}$
答案
B
解析
$\frac{-x + 2}{3 - x}=\frac{-(x - 2)}{-(x - 3)}=\frac{x - 2}{x - 3}$
5. 下列分式中与$\frac{-x + y}{-x - y}$的值相等的是(
A.$\frac{x + y}{x - y}$
B.$\frac{x - y}{x + y}$
C.$-\frac{x + y}{x - y}$
D.$-\frac{x - y}{x + y}$
B
)A.$\frac{x + y}{x - y}$
B.$\frac{x - y}{x + y}$
C.$-\frac{x + y}{x - y}$
D.$-\frac{x - y}{x + y}$
答案
B
解析
原式$\frac{-x + y}{-x - y}$的分子和分母同时乘以$-1$，
得到$\frac{(-1) \cdot (-x + y)}{(-1) \cdot (-x - y)} = \frac{x - y}{x + y}$。
对比选项，发现选项B与化简结果一致。
得到$\frac{(-1) \cdot (-x + y)}{(-1) \cdot (-x - y)} = \frac{x - y}{x + y}$。
对比选项，发现选项B与化简结果一致。
6. 使等式$\frac{7}{x + 2}= \frac{7x}{x^{2}+2x}$成立的条件是
$x\neq 0$且$x\neq -2$
。答案
$x\neq 0$且$x\neq -2$
解析
要使等式$\frac{7}{x + 2}= \frac{7x}{x^{2}+2x}$成立，首先对右边分式的分母进行因式分解，$x^{2}+2x = x(x + 2)$。根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。右边分式是左边分式的分子分母同乘$x$得到的，所以$x\neq 0$，同时原分式分母$x + 2\neq 0$，即$x\neq -2$。综上，成立的条件是$x\neq 0$且$x\neq -2$。
7. 不改变分式的值,使分式的分子、分母中的首项的系数都不含“$-$”号。
①$\frac{-2x}{-3y}=$
②$\frac{2x - 1}{-x + 1}=$
③$\frac{-x^{2}+2x - 1}{x - 2}=$
④$\frac{-x - 1}{-x^{2}-3x + 1}=$
①$\frac{-2x}{-3y}=$
$\frac{2x}{3y}$
；②$\frac{2x - 1}{-x + 1}=$
$- \frac{2x - 1}{x - 1}$
；③$\frac{-x^{2}+2x - 1}{x - 2}=$
$- \frac{x^{2} - 2x + 1}{x - 2}$
；④$\frac{-x - 1}{-x^{2}-3x + 1}=$
$\frac{x + 1}{x^{2} + 3x - 1}$
。答案
①$\frac{2x}{3y}$；
②$- \frac{2x - 1}{x - 1}$；
③$- \frac{x^{2} - 2x + 1}{x - 2}$；
④$\frac{x + 1}{x^{2} + 3x - 1}$。
②$- \frac{2x - 1}{x - 1}$；
③$- \frac{x^{2} - 2x + 1}{x - 2}$；
④$\frac{x + 1}{x^{2} + 3x - 1}$。
解析
① 根据分式的基本性质，分子分母同时乘以-1，得到$\frac{-2x}{-3y} = \frac{2x}{3y}$；
② 分子已经为正，将分母提取负号，得到$\frac{2x - 1}{-x + 1} = \frac{2x - 1}{-(x - 1)} = - \frac{2x - 1}{x - 1}$；
③ 分子已经为负，将分子提取负号，得到$\frac{-x^{2}+2x - 1}{x - 2} = \frac{-(x^{2} - 2x + 1)}{x - 2} = - \frac{x^{2} - 2x + 1}{x - 2}$；
④ 分子分母都为负，将分子分母同时提取负号，得到$\frac{-x - 1}{-x^{2}-3x + 1} = \frac{-(x + 1)}{-(x^{2} + 3x - 1)} = \frac{x + 1}{x^{2} + 3x - 1}$。
② 分子已经为正，将分母提取负号，得到$\frac{2x - 1}{-x + 1} = \frac{2x - 1}{-(x - 1)} = - \frac{2x - 1}{x - 1}$；
③ 分子已经为负，将分子提取负号，得到$\frac{-x^{2}+2x - 1}{x - 2} = \frac{-(x^{2} - 2x + 1)}{x - 2} = - \frac{x^{2} - 2x + 1}{x - 2}$；
④ 分子分母都为负，将分子分母同时提取负号，得到$\frac{-x - 1}{-x^{2}-3x + 1} = \frac{-(x + 1)}{-(x^{2} + 3x - 1)} = \frac{x + 1}{x^{2} + 3x - 1}$。
