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7. 如图所示,阴影部分是边长为$a的大正方形剪去一个边长为b$的小正方形后所得到的图形,将阴影部分通过割、拼,形成新的图形,如图所示：
其中能够验证平方差公式的有图(
A.(1)(2)(3)(4)
B.(1)(3)
C.(1)(4)
D.(1)(3)(4)
其中能够验证平方差公式的有图(
D
)A.(1)(2)(3)(4)
B.(1)(3)
C.(1)(4)
D.(1)(3)(4)
答案
D
解析
平方差公式为$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，验证需满足阴影部分面积（$a^2 - b^2$）与割补后图形面积（$(a + b)(a - b)$）相等。
图(1)：割补后形成长$(a + b)$、宽$(a - b)$的矩形，面积$(a + b)(a - b)$，可验证。
图(2)：“回”字形阴影割补后无法表示为$(a + b)(a - b)$，不可验证。
图(3)：割补成两个梯形，总面积为$(a + b)(a - b)$，可验证。
图(4)：割补成平行四边形，底$(a + b)$、高$(a - b)$，面积$(a + b)(a - b)$，可验证。
图(1)：割补后形成长$(a + b)$、宽$(a - b)$的矩形，面积$(a + b)(a - b)$，可验证。
图(2)：“回”字形阴影割补后无法表示为$(a + b)(a - b)$，不可验证。
图(3)：割补成两个梯形，总面积为$(a + b)(a - b)$，可验证。
图(4)：割补成平行四边形，底$(a + b)$、高$(a - b)$，面积$(a + b)(a - b)$，可验证。
8. 已知$(x - 2021)(x - 2025) = 15$,则$(x - 2022)(x - 2024)$的值是(
A.12
B.19
C.18
D.11
C
)A.12
B.19
C.18
D.11
答案
C
解析
设$a = x - 2023$，则$x - 2021 = a + 2$，$x - 2025 = a - 2$，$x - 2022 = a + 1$，$x - 2024 = a - 1$。
已知$(x - 2021)(x - 2025) = 15$，即$(a + 2)(a - 2) = 15$，由平方差公式得$a^2 - 4 = 15$，则$a^2 = 19$。
所求$(x - 2022)(x - 2024) = (a + 1)(a - 1) = a^2 - 1 = 19 - 1 = 18$。
已知$(x - 2021)(x - 2025) = 15$，即$(a + 2)(a - 2) = 15$，由平方差公式得$a^2 - 4 = 15$，则$a^2 = 19$。
所求$(x - 2022)(x - 2024) = (a + 1)(a - 1) = a^2 - 1 = 19 - 1 = 18$。
9. (易错题)已知$(m + n - 1)(m + 1 + n) = 80$,则$m + n = $
$\pm 9$（或 9或-9 ）
.答案
$\pm 9$（或 9或-9 ）
解析
设 $m + n = x$，则原方程可变形为：
$(x - 1)(x + 1) = 80$，
展开得：
$x^2 - 1 = 80$，
移项得：
$x^2 = 81$，
解得：
$x = \pm 9$，
因为$x为m + n$的值，在本题问题背景下可以取正负，因此$m + n = \pm 9$均符合题意。
$(x - 1)(x + 1) = 80$，
展开得：
$x^2 - 1 = 80$，
移项得：
$x^2 = 81$，
解得：
$x = \pm 9$，
因为$x为m + n$的值，在本题问题背景下可以取正负，因此$m + n = \pm 9$均符合题意。
10. 已知$x^{2} - y^{2} = 5$,则$(x - y)^{2}(x + y)^{2} = $
25
.答案
25
解析
根据平方差公式，有$x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y)$，
已知$x^{2} - y^{2} = 5$，则$(x - y)(x + y) = 5$。
要求的是$(x - y)^{2}(x + y)^{2}$，根据积的乘方公式，可以将其转化为$\left[(x - y)(x + y)\right]^{2}$。
将$(x - y)(x + y) = 5$代入$\left[(x - y)(x + y)\right]^{2}$，得到$5^{2} = 25$。
已知$x^{2} - y^{2} = 5$，则$(x - y)(x + y) = 5$。
要求的是$(x - y)^{2}(x + y)^{2}$，根据积的乘方公式，可以将其转化为$\left[(x - y)(x + y)\right]^{2}$。
将$(x - y)(x + y) = 5$代入$\left[(x - y)(x + y)\right]^{2}$，得到$5^{2} = 25$。
11. 用简便方法计算：$\frac{2022^{2}}{2021×2023 + 1}$.
答案
1
解析
解：
原式$=\frac{2022^{2}}{(2022-1)(2022+1)+1}$
$=\frac{2022^{2}}{2022^{2}-1+1}$
$=\frac{2022^{2}}{2022^{2}}$
$=1$
原式$=\frac{2022^{2}}{(2022-1)(2022+1)+1}$
$=\frac{2022^{2}}{2022^{2}-1+1}$
$=\frac{2022^{2}}{2022^{2}}$
$=1$
12. 解方程(不等式)：
(1)$2(x - 3)(x + 3) = 2(x - 1)(x + 1) - 2x + 4$；
(2)$(3x + 4)(3x - 4) ＞ (3x - 1)(3x + 1) - 36x + 57$.
(1)$2(x - 3)(x + 3) = 2(x - 1)(x + 1) - 2x + 4$；
(2)$(3x + 4)(3x - 4) ＞ (3x - 1)(3x + 1) - 36x + 57$.
答案
(1)
首先，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$化简方程：
$2(x^{2}-9)=2(x^{2}-1)-2x + 4$
去括号得：
$2x^{2}-18 = 2x^{2}-2-2x + 4$
移项得：
$2x^{2}-2x^{2}+2x= - 2 + 4+18$
合并同类项得：
$2x=20$
系数化为$1$得：
$x = 10$
(2)
首先，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$化简不等式：
$9x^{2}-16＞9x^{2}-1-36x + 57$
移项得：
$9x^{2}-9x^{2}+36x＞ - 1+57 + 16$
合并同类项得：
$36x＞72$
系数化为$1$得：
$x＞2$
首先，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$化简方程：
$2(x^{2}-9)=2(x^{2}-1)-2x + 4$
去括号得：
$2x^{2}-18 = 2x^{2}-2-2x + 4$
移项得：
$2x^{2}-2x^{2}+2x= - 2 + 4+18$
合并同类项得：
$2x=20$
系数化为$1$得：
$x = 10$
(2)
首先，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$化简不等式：
$9x^{2}-16＞9x^{2}-1-36x + 57$
移项得：
$9x^{2}-9x^{2}+36x＞ - 1+57 + 16$
合并同类项得：
$36x＞72$
系数化为$1$得：
$x＞2$
13. 解答下列问题.
(1)观察下列各式并填空：
$3^{2} - 1^{2} = 8×1$；$5^{2} - 3^{2} = 8×2$；
①$7^{2} - 5^{2} = 8×$
③
(2)通过观察、归纳,请你用含字母$n$($n$为正整数)的等式表示上述各式所反映的规律.
(3)你能运用平方差公式来验证(2)中你所写的规律吗？
左边$=(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1)=(4n)(2)=8n$，
右边$= 8n$，
因此左边$=$右边，
答：规律$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 8n$成立。
(1)观察下列各式并填空：
$3^{2} - 1^{2} = 8×1$；$5^{2} - 3^{2} = 8×2$；
①$7^{2} - 5^{2} = 8×$
3
；②$9^{2} -$7
$^{2} = 8×4$；③
11
$^{2} - 9^{2} = 8×5$；④$13^{2} -$11
$^{2} = 8×$6
；…(2)通过观察、归纳,请你用含字母$n$($n$为正整数)的等式表示上述各式所反映的规律.
答：$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 8n$
(3)你能运用平方差公式来验证(2)中你所写的规律吗？
左边$=(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1)=(4n)(2)=8n$，
右边$= 8n$，
因此左边$=$右边，
答：规律$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 8n$成立。
答案
(1)①$3$；
②$7$；
③$11$；
④$11$，$6$；
(2)答：$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 8n$；
(3)左边$=(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1)=(4n)(2)=8n$，
右边$= 8n$，
因此左边$=$右边，
答：规律$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 8n$成立。
②$7$；
③$11$；
④$11$，$6$；
(2)答：$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 8n$；
(3)左边$=(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1)=(4n)(2)=8n$，
右边$= 8n$，
因此左边$=$右边，
答：规律$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 8n$成立。
