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1. 下列式子：$-3x$,$\frac{x^{2} - y^{2}}{xy}$,$-\frac{a^{2}}{\pi}$,$-\frac{1}{y^{2}}$,$\frac{2a}{a}$。其中是分式的有(
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
C
)A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
答案
C
解析
分式的定义是形如$\frac{A}{B}$的式子，其中$A$、$B$为整式，且$B$中含有字母。根据定义逐一判断：
1. $-3x$：不是分式（分母为1，不含字母）。
2. $\frac{x^{2} - y^{2}}{xy}$：是分式（分母$xy$含字母）。
3. $-\frac{a^{2}}{\pi}$：不是分式（分母$\pi$为常数，不含字母）。
4. $-\frac{1}{y^{2}}$：是分式（分母$y^{2}$含字母）。
5. $\frac{2a}{a}$：是分式（分母$a$含字母，虽可约分为$2$，但原式仍满足分式定义）。
共有3个分式。
1. $-3x$：不是分式（分母为1，不含字母）。
2. $\frac{x^{2} - y^{2}}{xy}$：是分式（分母$xy$含字母）。
3. $-\frac{a^{2}}{\pi}$：不是分式（分母$\pi$为常数，不含字母）。
4. $-\frac{1}{y^{2}}$：是分式（分母$y^{2}$含字母）。
5. $\frac{2a}{a}$：是分式（分母$a$含字母，虽可约分为$2$，但原式仍满足分式定义）。
共有3个分式。
2. 当 $x$ 为任意实数时,下列分式一定有意义的是(
A.$\frac{3}{x^{2}}$
B.$\frac{5}{\vert x + 6\vert}$
C.$\frac{4}{x^{2} + 1}$
D.$\frac{2}{x^{2} - 1}$
C
)A.$\frac{3}{x^{2}}$
B.$\frac{5}{\vert x + 6\vert}$
C.$\frac{4}{x^{2} + 1}$
D.$\frac{2}{x^{2} - 1}$
答案
C
解析
分式有意义的条件是分母不等于零，需要对各选项的分母进行分析：
A选项：分母$x^{2}$，当$x = 0$时，$x^{2}=0$，此时分式无意义，所以A选项错误。
B选项：分母$\vert x + 6\vert$，当$x = - 6$时，$\vert x + 6\vert=0$，此时分式无意义，所以B选项错误。
C选项：分母$x^{2}+1$，因为$x^{2}\geq0$，所以$x^{2}+1\geq1$，分母永远不等于零，分式一定有意义，所以C选项正确。
D选项：分母$x^{2}-1$，当$x=\pm1$时，$x^{2}-1 = 0$，此时分式无意义，所以D选项错误。
A选项：分母$x^{2}$，当$x = 0$时，$x^{2}=0$，此时分式无意义，所以A选项错误。
B选项：分母$\vert x + 6\vert$，当$x = - 6$时，$\vert x + 6\vert=0$，此时分式无意义，所以B选项错误。
C选项：分母$x^{2}+1$，因为$x^{2}\geq0$，所以$x^{2}+1\geq1$，分母永远不等于零，分式一定有意义，所以C选项正确。
D选项：分母$x^{2}-1$，当$x=\pm1$时，$x^{2}-1 = 0$，此时分式无意义，所以D选项错误。
3. 当 $x = 1$ 时,对于分式 $\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(2x + 3)}$ 的说法正确的是(
A.分式的值为 $0$
B.分式的值为 $\frac{2}{5}$
C.分式无意义
D.分式有意义
C
)A.分式的值为 $0$
B.分式的值为 $\frac{2}{5}$
C.分式无意义
D.分式有意义
答案
C
解析
将$x=1$代入分式的分母$(x-1)(2x+3)$中，此时分母的值为$(1 - 1)×(2×1 + 3)=0×5 = 0$。
因为分式的分母为$0$，根据分式有意义的条件：分母不为$0$时，分式有意义；分母为$0$时，分式无意义，所以该分式无意义。
因为分式的分母为$0$，根据分式有意义的条件：分母不为$0$时，分式有意义；分母为$0$时，分式无意义，所以该分式无意义。
4. 若 $x = -2$,则下列分式值为 $0$ 的是(
A.$\frac{1}{x - 2}$
B.$\frac{x}{x + 2}$
C.$\frac{x - 2}{x}$
D.$\frac{x^{2} - 4}{x}$
D
)A.$\frac{1}{x - 2}$
B.$\frac{x}{x + 2}$
C.$\frac{x - 2}{x}$
D.$\frac{x^{2} - 4}{x}$
答案
D
解析
要使分式值为$0$，则分子为$0$且分母不为$0$。
选项A：分子为$1$，不可能为$0$，所以该分式值不为$0$。
选项B：当$x = - 2$时，分母$x + 2= -2 + 2 = 0$，分式无意义，所以该分式值不为$0$。
选项C：当$x = - 2$时，分子$x - 2=-2 - 2 = -4\neq0$，所以该分式值不为$0$。
选项D：当$x = - 2$时，分子$x^{2}-4=(-2)^{2}-4 = 0$，分母$x = - 2\neq0$，此时分式值为$0$。
选项A：分子为$1$，不可能为$0$，所以该分式值不为$0$。
选项B：当$x = - 2$时，分母$x + 2= -2 + 2 = 0$，分式无意义，所以该分式值不为$0$。
选项C：当$x = - 2$时，分子$x - 2=-2 - 2 = -4\neq0$，所以该分式值不为$0$。
选项D：当$x = - 2$时，分子$x^{2}-4=(-2)^{2}-4 = 0$，分母$x = - 2\neq0$，此时分式值为$0$。
5. (2025·南充)若把分式 $\frac{a - b}{2ab}$ 中的 $a$ 和 $b$ 都扩大为原来的 $2$ 倍,则该分式的值(
A.扩大为原来的 $2$ 倍
B.缩小为原来的 $\frac{1}{4}$
C.缩小为原来的 $\frac{1}{2}$
D.不变
C
)A.扩大为原来的 $2$ 倍
B.缩小为原来的 $\frac{1}{4}$
C.缩小为原来的 $\frac{1}{2}$
D.不变
答案
C
解析
设原分式为 $\frac{a - b}{2ab}$，将 $a$ 和 $b$ 都扩大为原来的 $2$ 倍，即 $a \to 2a$，$b \to 2b$。
新分式为：
$\frac{2a - 2b}{2 × 2a × 2b} = \frac{2(a - b)}{8ab} = \frac{a - b}{4ab}$，
与原分式 $\frac{a - b}{2ab}$ 相比，新分式是原分式的 $\frac{1}{2}$。
新分式为：
$\frac{2a - 2b}{2 × 2a × 2b} = \frac{2(a - b)}{8ab} = \frac{a - b}{4ab}$，
与原分式 $\frac{a - b}{2ab}$ 相比，新分式是原分式的 $\frac{1}{2}$。
6. 分式 $\frac{1}{x(x - 1)}$ 有意义的条件是
$x \neq 0$ 且 $x \neq 1$
。答案
$x \neq 0$ 且 $x \neq 1$
解析
要使分式 $\frac{1}{x(x - 1)}$ 有意义，必须满足分母 $x(x - 1) \neq 0$。即 $x \neq 0$ 且 $x - 1 \neq 0$，因此 $x \neq 0$ 且 $x \neq 1$。
7. 若分式 $\frac{2x - 4}{3x + 6}$ 有意义,则字母 $x$ 应满足的条件为
$x\neq - 2$
。答案
$x\neq - 2$
解析
要使分式$\frac{2x - 4}{3x + 6}$有意义，则分母$3x + 6\neq 0$，解$3x + 6\neq 0$，移项可得$3x\neq - 6$，两边同时除以$3$，解得$x\neq - 2$。
8. 若分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ 的值为 $0$,则 $x = $
1
。答案
$1$
解析
要使分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ 的值为 $0$，需要满足分子为 $0$ 且分母不为 $0$。
1. 分子为 $0$：$x^{2} - 1 = 0$，即 $(x - 1)(x + 1) = 0$，解得 $x = 1$ 或 $x = -1$。
2. 分母不为 $0$：$x + 1 \neq 0$，即 $x \neq -1$。
综合以上两点，只有 $x = 1$ 满足条件。
1. 分子为 $0$：$x^{2} - 1 = 0$，即 $(x - 1)(x + 1) = 0$，解得 $x = 1$ 或 $x = -1$。
2. 分母不为 $0$：$x + 1 \neq 0$，即 $x \neq -1$。
综合以上两点，只有 $x = 1$ 满足条件。
9. 已知 $x = -1$ 时,分式 $\frac{x - b}{x + a}$ 无意义,$x = 4$ 时,分式的值为零,则 $a + b = $
5
。答案
5
解析
当分式无意义时，分母为零，即当$x=-1$时，$x + a = 0$，$-1 + a = 0$，解得$a = 1$；当分式的值为零时，分子为零且分母不为零，即当$x = 4$时，$x - b = 0$且$x + a \neq 0$，$4 - b = 0$，解得$b = 4$。所以$a + b = 1 + 4 = 5$。
10. 已知 $x$,$y$,$z$ 满足 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \neq 0$,则分式 $\frac{x + z}{y}$ 的值为
2
。答案
2（由于题目要求可能基于填空形式，且选项未给出具体字母，故此处直接给出数值答案，若为选择题则根据选项选择对应字母，但按题目要求填数值的简化处理为直接给出答案数值）
解析
设 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k \neq 0$，
则 $x = 2k$，$y = 3k$，$z = 4k$。
代入分式得：
$\frac{x + z}{y} = \frac{2k + 4k}{3k} = \frac{6k}{3k} = 2$。
则 $x = 2k$，$y = 3k$，$z = 4k$。
代入分式得：
$\frac{x + z}{y} = \frac{2k + 4k}{3k} = \frac{6k}{3k} = 2$。
11. (1)某瓶盖厂加工一批瓶盖,甲组与乙组合作需要 $a$ 天完成,若甲组单独完成需要 $b$ 天,则乙组单独完成需要
(2)为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为 $2000$ 元,第二次捐款总额为 $3000$ 元,第二次捐款人数比第一次多 $15$ 人。如果设第一次捐款人数为 $x$ 人,那么第二次人均捐款额是
$\frac{ab}{b - a}$
天。(2)为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为 $2000$ 元,第二次捐款总额为 $3000$ 元,第二次捐款人数比第一次多 $15$ 人。如果设第一次捐款人数为 $x$ 人,那么第二次人均捐款额是
$\frac{3000}{x + 15}$
元。答案
(1)$\frac{ab}{b - a}$；(2)$\frac{3000}{x + 15}$
解析
(1)设工作总量为1，甲组与乙组合作的工作效率为$\frac{1}{a}$，甲组单独的工作效率为$\frac{1}{b}$，则乙组单独的工作效率为$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b - a}{ab}$，所以乙组单独完成需要$\frac{ab}{b - a}$天。
(2)第一次捐款人数为$x$人，第二次捐款人数为$x + 15$人，第二次人均捐款额是$\frac{3000}{x + 15}$元。
(2)第一次捐款人数为$x$人，第二次捐款人数为$x + 15$人，第二次人均捐款额是$\frac{3000}{x + 15}$元。
12. 下列关于分式的判断,正确的是(
A.当 $x = 2$ 时,$\frac{x + 1}{x - 2}$ 的值为零
B.无论 $x$ 为何值,$\frac{3}{x^{2} + 1}$ 的值总为正数
C.无论 $x$ 为何值,$\frac{3}{x + 1}$ 不可能得整数值
D.当 $x \neq 3$ 时,$\frac{x - 3}{x}$ 有意义
B
)A.当 $x = 2$ 时,$\frac{x + 1}{x - 2}$ 的值为零
B.无论 $x$ 为何值,$\frac{3}{x^{2} + 1}$ 的值总为正数
C.无论 $x$ 为何值,$\frac{3}{x + 1}$ 不可能得整数值
D.当 $x \neq 3$ 时,$\frac{x - 3}{x}$ 有意义
答案
B
解析
A. 当 $x = 2$ 时，分母 $x - 2 = 0$，分式无意义，故A错误；
B. 对于任意实数 $x$，$x^2 + 1 ＞ 0$，因此 $\frac{3}{x^2 + 1}$ 总是正数，故B正确；
C. 当 $x = 2$ 时，$\frac{3}{x + 1} = 1$，得到整数值，故C错误；
D. 当 $x \neq 0$ 时，$\frac{x - 3}{x}$ 才有意义，故D错误（题目条件是$x \neq 3$，但未排除$x=0$的情况）。
B. 对于任意实数 $x$，$x^2 + 1 ＞ 0$，因此 $\frac{3}{x^2 + 1}$ 总是正数，故B正确；
C. 当 $x = 2$ 时，$\frac{3}{x + 1} = 1$，得到整数值，故C错误；
D. 当 $x \neq 0$ 时，$\frac{x - 3}{x}$ 才有意义，故D错误（题目条件是$x \neq 3$，但未排除$x=0$的情况）。
