【例3】 (教材题变式)图中是两块试验田,“丰收1号”小麦的试验田是边长分别为$a$m,$b$m($a \neq b$)的两个正方形,“丰收2号”小麦试验田是相邻边长为$a$m,$2b$m的长方形,两块试验田的小麦都收获了500kg.
(1)哪种小麦的单位面积产量高？请说明理由。
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

(1)“丰收1号”小麦试验田为边长分别为$a$m，$b$m的两个正方形，
根据正方形面积公式$S = 边长×边长$，其总面积为$a^{2}+b^{2}$，
因为两块试验田的小麦都收获了$500kg$，
所以“丰收1号”小麦单位面积产量为$\frac{500}{a^{2}+b^{2}}$。
“丰收2号”小麦试验田是相邻边长为$a$m，$2b$m的长方形，
根据长方形面积公式$S = 长×宽$，其面积为$2ab$，
所以“丰收2号”小麦单位面积产量为$\frac{500}{2ab}$。
计算$\frac{500}{a^{2}+b^{2}}-\frac{500}{2ab}=500×\frac{2ab - (a^{2}+b^{2})}{2ab(a^{2}+b^{2})}=500×\frac{-(a - b)^{2}}{2ab(a^{2}+b^{2})}$，
因为$a\neq b$，$a\gt0$，$b\gt0$，所以$(a - b)^{2}\gt0$，则$\frac{-(a - b)^{2}}{2ab(a^{2}+b^{2})}\lt0$，
即$\frac{500}{a^{2}+b^{2}}\lt\frac{500}{2ab}$。
所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高。
(2)计算$\frac{\frac{500}{2ab}}{\frac{500}{a^{2}+b^{2}}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}$。
所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}$倍。

4. 甲地到乙地的一条铁路全长为$s$km,火车全程运行时间为$a$h；甲地到乙地的公路全长为这条铁路全长的$m$倍,汽车全程运行时间为$b$h. 那么火车速度是汽车速度的倍。

$\frac{b}{am}$

火车速度为$\frac{s}{a}$km/h，公路全长为$ms$km，汽车速度为$\frac{ms}{b}$km/h，火车速度是汽车速度的$\frac{s}{a} ÷ \frac{ms}{b} = \frac{s}{a} × \frac{b}{ms} = \frac{b}{am}$倍。

5. 水果超市运来凤梨和西瓜这两种水果,已知凤梨重$(m - 2)^{2}$kg,西瓜重$(m^{2}-4)$kg,其中$m ＞ 2$,售完后,两种水果都卖了540元.
(1)请用含$m$的代数式分别表示这两种水果的单价；
(2)凤梨的单价是西瓜单价的多少倍？

(1)
凤梨的单价：由总价$ = 540$元，重量$=(m - 2)^{2}kg$，根据单价$=$总价$÷$重量，得凤梨单价为$\frac{540}{(m - 2)^{2}}$元/$kg$；
西瓜的单价：由总价$ = 540$元，重量$=(m^{2}-4)kg=(m + 2)(m - 2)kg$，根据单价$=$总价$÷$重量，得西瓜单价为$\frac{540}{(m + 2)(m - 2)}$元/$kg$。
(2)
凤梨单价除以西瓜单价可得：
$\frac{540}{(m - 2)^{2}}÷\frac{540}{(m + 2)(m - 2)}$
$=\frac{540}{(m - 2)^{2}}×\frac{(m + 2)(m - 2)}{540}$
$=\frac{m + 2}{m - 2}$
所以，凤梨的单价是西瓜单价的$\frac{m + 2}{m - 2}$倍。

1. 下列计算正确的是()

A.$\frac{a^{2}}{b^{3}} \cdot \frac{b^{3}}{a^{5}} = \frac{b^{3}}{a^{3}}$
B.$\frac{7b}{2a^{2}} \cdot \frac{8a^{3}}{7b^{2}} = \frac{4a}{b^{2}}$
C.$\frac{x^{2}y}{ab^{2}} ÷ \frac{xy}{3ab} = \frac{3x}{ab}$
D.$\frac{y^{2}}{6x} ÷ \frac{y}{3x^{2}} = \frac{xy}{2}$

D

A: $\frac{a^{2}}{b^{3}} \cdot \frac{b^{3}}{a^{5}} = \frac{a^{2} \cdot b^{3}}{b^{3} \cdot a^{5}} = \frac{1}{a^{3}} \neq \frac{b^{3}}{a^{3}}$，错误。
B: $\frac{7b}{2a^{2}} \cdot \frac{8a^{3}}{7b^{2}} = \frac{7b \cdot 8a^{3}}{2a^{2} \cdot 7b^{2}} = \frac{56a^{3}b}{14a^{2}b^{2}} = \frac{4a}{b}$（与选项给出的$\frac{4a}{b^{2}}$不一致），错误。
C: $\frac{x^{2}y}{ab^{2}} ÷ \frac{xy}{3ab} = \frac{x^{2}y}{ab^{2}} \cdot \frac{3ab}{xy} = \frac{3x}{b} \neq \frac{3x}{ab}$，错误。
D: $\frac{y^{2}}{6x} ÷ \frac{y}{3x^{2}} = \frac{y^{2}}{6x} \cdot \frac{3x^{2}}{y} = \frac{3x^{2}y^{2}}{6xy} = \frac{xy}{2}$，正确。

2. 下列各式中,计算结果是分式的是()
A.$\frac{x^{4}y^{2}}{x - y} ÷ \frac{4x^{2}y^{2}}{x - y}$
B.$\frac{x - 6}{x} ÷ \frac{x - 6}{x^{2}}$
C.$\frac{ab}{a - b} \cdot (ab - b^{2})$
D.$\frac{1}{a^{2}-2ab + b^{2}} \cdot \frac{(a - b)^{2}}{2ab}$

D

A. $\frac{x^{4}y^{2}}{x - y} ÷ \frac{4x^{2}y^{2}}{x - y}$
= $\frac{x^{4}y^{2}}{x - y} \cdot \frac{x - y}{4x^{2}y^{2}}$
= $\frac{x^{2}}{4}$
结果不是分式。
B. $\frac{x - 6}{x} ÷ \frac{x - 6}{x^{2}}$
= $\frac{x - 6}{x} \cdot \frac{x^{2}}{x - 6}$
= $x$
结果不是分式。
C. $\frac{ab}{a - b} \cdot (ab - b^{2})$
= $\frac{ab}{a - b} \cdot b(a - b)$
= $ab^{2}$
$a \neq b$，但结果$ab^{2}$为整式，不是分式。
D. $\frac{1}{a^{2}-2ab + b^{2}} \cdot \frac{(a - b)^{2}}{2ab}$
= $\frac{1}{(a - b)^{2}} \cdot \frac{(a - b)^{2}}{2ab}$
= $\frac{1}{2ab}$
结果为分式。

3. 已知$\frac{x^{2}-4}{x - 3} ÷$ $\frac{}{x^{2}-9}$是一道分式化简题,其中一部分被墨水污染了,只知道该题化简的结果为整式,则被墨水覆盖的部分不可能是()
A.$x - 3$
B.$x - 2$
C.$x + 3$
D.$x + 2$

A

原式转化为乘法：$\frac{x^{2}-4}{x - 3} × \frac{x^{2}-9}{■}$，因式分解得$\frac{(x-2)(x+2)}{x-3} × \frac{(x-3)(x+3)}{■}$，约分后为$\frac{(x-2)(x+2)(x+3)}{■}$。化简结果为整式，则■需为分子$(x-2)(x+2)(x+3)$的因式。选项中$x-2$、$x+3$、$x+2$均为分子因式，$x-3$不是，故不可能是$x-3$。

4. 当$a = -1$时,$\frac{a^{2}-4a + 4}{a^{2}-2a} ÷ \frac{a^{2}-4}{2a}$的值为。

2

$\begin{aligned}&\frac{a^{2}-4a + 4}{a^{2}-2a} ÷ \frac{a^{2}-4}{2a}\\=&\frac{(a - 2)^2}{a(a - 2)} × \frac{2a}{(a + 2)(a - 2)}\\=&\frac{a - 2}{a} × \frac{2a}{(a + 2)(a - 2)}\\=&\frac{2}{a + 2}\\\end{aligned}$
当$a=-1$时，$\frac{2}{-1 + 2}=2$

5. 如果$\frac{m}{3} = \frac{n}{2} \neq 0$,那么代数式$\frac{3m - n}{4m^{2}-n^{2}} \cdot (2m + n)$的值为。

$\frac{7}{4}$

设$\frac{m}{3}=\frac{n}{2}=k(k\neq0)$，则$m=3k$，$n=2k$。
$\begin{aligned}&\frac{3m - n}{4m^{2}-n^{2}} \cdot (2m + n)\\=&\frac{3m - n}{(2m + n)(2m - n)} \cdot (2m + n)\\=&\frac{3m - n}{2m - n}\\\end{aligned}$
将$m=3k$，$n=2k$代入上式：
$\begin{aligned}&\frac{3×3k - 2k}{2×3k - 2k}\\=&\frac{9k - 2k}{6k - 2k}\\=&\frac{7k}{4k}\\=&\frac{7}{4}\end{aligned}$

6. 计算：(1)$\frac{4x}{3y} \cdot \frac{y}{2x^{3}}$；(2)$\frac{3b^{2}}{16a} ÷ (-\frac{bc}{2a^{2}})$；
(3)$\frac{a - b}{a + b} ÷ (b - a)$；
(4)$\frac{2 - m}{m + 2} ÷ \frac{m^{2}-4m + 4}{m^{2}-4}$。

(1)
$\begin{aligned} \frac{4x}{3y} \cdot \frac{y}{2x^{3}} &= \frac{4x\cdot y}{3y\cdot 2x^{3}} \\ &= \frac{4xy}{6x^{3}y} \\ &= \frac{2}{3x^{2}} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} \frac{3b^{2}}{16a} ÷ (-\frac{bc}{2a^{2}}) &= \frac{3b^{2}}{16a} × (-\frac{2a^{2}}{bc}) \\ &= -\frac{3b^{2}\cdot 2a^{2}}{16a\cdot bc} \\ &= -\frac{6a^{2}b^{2}}{16abc} \\ &= -\frac{3a b}{8c} \end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} \frac{a - b}{a + b} ÷ (b - a) &= \frac{a - b}{a + b} × \frac{1}{b - a} \\ &= \frac{a - b}{a + b} × (-\frac{1}{a - b}) \\ &= -\frac{1}{a + b} \end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned} \frac{2 - m}{m + 2} ÷ \frac{m^{2}-4m + 4}{m^{2}-4} &= \frac{2 - m}{m + 2} × \frac{m^{2}-4}{m^{2}-4m + 4} \\ &= \frac{-(m - 2)}{m + 2} × \frac{(m + 2)(m - 2)}{(m - 2)^{2}} \\ &= - \frac{m - 2}{m + 2} × \frac{(m + 2)(m - 2)}{(m - 2)^{2}} \\ &= -1 \end{aligned}$