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1. 直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角
2. 直角三角形的判定
有两个角
如图所示,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A + \angle B = 90^{\circ} $,则 $ \triangle ABC $ 是直角三角形.
直角三角形的两个锐角
互余
. 如图所示,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,则 $ \angle A + \angle B = 90^{\circ} $.2. 直角三角形的判定
有两个角
互余
的三角形是直角三角形.如图所示,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A + \angle B = 90^{\circ} $,则 $ \triangle ABC $ 是直角三角形.
答案
1. 互余；2. 互余
解析
1. 直角三角形的两个锐角互余。因为三角形内角和为180°，直角为90°，所以两锐角和为180° - 90° = 90°。
2. 有两个角互余的三角形是直角三角形。因为两锐角和为90°，则第三个角为180° - 90° = 90°，所以是直角三角形。
2. 有两个角互余的三角形是直角三角形。因为两锐角和为90°，则第三个角为180° - 90° = 90°，所以是直角三角形。
【例1】如图所示,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AD $ 平分 $ \angle CAB $,$ DE \perp AB $,若 $ \angle BDE = 56^{\circ} $,则 $ \angle DAE $ 的度数为(
A.$ 23^{\circ} $
B.$ 28^{\circ} $
C.$ 52^{\circ} $
D.$ 56^{\circ} $
B
)A.$ 23^{\circ} $
B.$ 28^{\circ} $
C.$ 52^{\circ} $
D.$ 56^{\circ} $
答案
B
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AD$平分$\angle CAB$，$DE\perp AB$。
所以$\angle CAD=\angle DAE$，$\angle AED = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BDE$中，$\angle BDE = 56^{\circ}$，则$\angle B=90^{\circ}-56^{\circ}=34^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 34^{\circ}$，所以$\angle CAB=90^{\circ}-34^{\circ}=56^{\circ}$。
因为$AD$平分$\angle CAB$，所以$\angle DAE=\frac{1}{2}\angle CAB = 28^{\circ}$。
所以$\angle CAD=\angle DAE$，$\angle AED = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BDE$中，$\angle BDE = 56^{\circ}$，则$\angle B=90^{\circ}-56^{\circ}=34^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 34^{\circ}$，所以$\angle CAB=90^{\circ}-34^{\circ}=56^{\circ}$。
因为$AD$平分$\angle CAB$，所以$\angle DAE=\frac{1}{2}\angle CAB = 28^{\circ}$。
应用“直角三角形的两个锐角互余”计算相关角的大小,要比应用三角形的内角和定理简便. 该性质常与“同角(或等角)的余角相等”的性质一起进行相关的计算或证明.
答案
（题目未给出具体计算或证明题，无法得出具体答案，此为性质应用说明）
解析
直角三角形两锐角之和为90°，计算时直接用90°减已知锐角得另一锐角，比用内角和180°减直角和已知锐角简便；“同角（等角）的余角相等”可结合此性质证角相等，常用于计算或证明角的关系。
1. 如图所示,$ a $,$ b $ 是直尺的两边,$ a // b $,把三角板的直角顶点放在直尺的 $ b $ 边上,若 $ \angle 1 = 35^{\circ} $,则 $ \angle 2 $ 的度数是(
A.$ 65^{\circ} $
B.$ 55^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 35^{\circ} $
B
)A.$ 65^{\circ} $
B.$ 55^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 35^{\circ} $
答案
B
解析
过三角板直角顶点作直线平行于a（或b），根据平行线性质，∠1的同位角为35°，直角为90°，则∠2=90°-35°=55°
2. (跨学科—物理)如图所示,平面镜 $ MN $ 放置在水平地面 $ CD $ 上,墙面 $ PD \perp CD $ 于点 $ D $,一束光线 $ AO $ 照射到镜面 $ MN $ 上,反射光线为 $ OB $,$ \angle AOC = \angle BOD $. 点 $ B $ 在 $ PD $ 上,若 $ \angle AOC = 35^{\circ} $,则 $ \angle OBD $ 的度数为(
A.$ 35^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 55^{\circ} $
D.$ 65^{\circ} $
C
)A.$ 35^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 55^{\circ} $
D.$ 65^{\circ} $
答案
C
解析
∵PD⊥CD，∴∠ODB=90°（垂直定义）。
∵∠AOC=35°且∠AOC=∠BOD，∴∠BOD=35°。
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠BOD=35°，
∴∠OBD=90°-∠BOD=90°-35°=55°。
∵∠AOC=35°且∠AOC=∠BOD，∴∠BOD=35°。
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠BOD=35°，
∴∠OBD=90°-∠BOD=90°-35°=55°。
3. 如图所示,$ AD \perp BC $,$ BE $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线,$ BE $,$ AD $ 相交于点 $ F $,已知 $ \angle BAD = 44^{\circ} $,则 $ \angle BFD = $
67°
.答案
67°
解析
∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°。
∵∠BAD=44°，∠ADB=90°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=180°-44°-90°=46°。
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBD=∠ABD/2=46°/2=23°。
在△BFD中，∠BFD=180°-∠FBD-∠ADB=180°-23°-90°=67°。
【例2】有下列条件：① $ \angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3 $；② $ \angle A = \angle B = 2\angle C $；③ $ \angle A + \angle B = \angle C $；④ $ \angle A = \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{3}\angle C $. 其中能确定 $ \triangle ABC $ 为直角三角形的条件有(
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
)A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
B
解析
①设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，x+2x+3x=180°，解得x=30°，∠C=90°，是直角三角形；②设∠C=x，则∠A=∠B=2x，2x+2x+x=180°，解得x=36°，∠A=∠B=72°，不是直角三角形；③∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；④设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，x+2x+3x=180°，解得x=30°，∠C=90°，是直角三角形。能确定为直角三角形的条件有①③④，共3个。
要证明一个三角形是否为直角三角形,可考虑证明有一个角为直角或者两个角互余. 当已知三个角的数量关系时,可结合三角形的内角和定理列方程求解.
答案
（因题目未给出具体三角形角的关系，无法得出具体答案，此为证明方法总结）
解析
要证明三角形是直角三角形，方法一：证明其中一个角等于90°；方法二：证明两个角的和为90°（即互余）。若已知三个角的数量关系，设未知数，根据三角形内角和定理（内角和为180°）列方程，求出各角度数，若有一角为90°则为直角三角形。
4. 如图所示,$ CD // AB $,$ \angle A = 35^{\circ} $,$ \angle DCB = 55^{\circ} $,则 $ \triangle ABC $ 的形状为(
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
C
)A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
答案
C
解析
∵CD//AB，∴∠ABC=∠DCB=55°（两直线平行，内错角相等）。在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=55°，∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-35°-55°=90°。∴△ABC是直角三角形。
