4. 如图,在△ABC中,AB= AC,D,E两点在BC上,且AD= AE,BD= CE. 若∠BAD= 30°,∠DAE= 50°,则∠BAC的度数为.

$110^{\circ}$（由于要求格式，这里按题目未给选项形式，若换算为选项填空形式，若选项有$110^{\circ}$对应的选项则填对应字母） ，本题直接得结果为$110^{\circ}$。

1. 因为$AB = AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle B=\angle C$。
2. 又因为$AD = AE$，所以$\triangle ADE$是等腰三角形，$\angle ADE=\angle AED$。
3. 已知$BD = CE$，$AB = AC$，$AD = AE$，则$\triangle ABD\cong\triangle ACE(SSS)$，所以$\angle BAD=\angle CAE = 30^{\circ}$。
4. 已知$\angle DAE = 50^{\circ}$，则$\angle BAC=\angle BAD+\angle DAE+\angle CAE=30^{\circ}+50^{\circ}+30^{\circ}=110^{\circ}$。

5. 如图,E为BC的中点,AB= DE,AE= CD. 则下列结论中不正确的是()

A.∠A= ∠D
B.∠B= ∠DEC
C.∠C= ∠AEB
D.∠B= ∠C

D

∵E为BC中点，∴BE=CE。在△ABE和△DEC中，AB=DE，AE=DC，BE=CE，∴△ABE≌△DEC（SSS）。∴∠A=∠D，∠B=∠DEC，∠AEB=∠C。故A、B、C正确，D不正确。

6. 已知△ABC的三边长分别为3,5,7,△DEF的三边长分别为3,3x-2,2x-1,若这两个三角形全等,则x等于()
A.$\frac{7}{3}$
B.4
C.3
D.不能确定

C

∵△ABC与△DEF全等，且△ABC三边长为3,5,7，△DEF三边长为3,3x-2,2x-1，
∴△DEF三边需与3,5,7对应相等。
已知两三角形均有边长3，分两种情况：
①若3x-2=5，则x=7/3，此时2x-1=11/3≠7，不合题意；
②若3x-2=7，则x=3，此时2x-1=5，△DEF三边为3,7,5，与△ABC三边对应相等，符合题意。
综上，x=3。

7. 如图,AB= CD,AD= CB,则下列结论不正确的是()

A.∠A= ∠C
B.AB//CD
C.AD//BC
D.BD平分∠ABC

D

在△ABD和△CDB中，AB=CD，AD=CB，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，∴AB//CD（内错角相等，两直线平行），AD//BC（内错角相等，两直线平行），无法得出BD平分∠ABC，结论不正确的是D。

8. 如图,AB= 2,BC= AE= 6,CE= FC= 7,BF= 8,BF和CE交于点D,且A,B,C三点共线,则四边形ABDE与△CDF的面积的比值是()

A.2
B.1
C.3
D.$\frac{1}{2}$

B

设$S_{\triangle BDC}=x$，$S_{\triangle CDF}=y$。
因为$FC=7$，$BF=8$，所以$BD=BF - DF=8 - DF$，$\frac{BD}{DF}=\frac{8 - DF}{DF}$。又$\frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle CDF}}=\frac{BD}{DF}=\frac{x}{y}$，即$\frac{x}{y}=\frac{8 - DF}{DF}$。
因为$CE=7$，$FC=7$，所以$CE=FC$，$\triangle CEF$为等腰三角形。设$DE=m$，则$DC=7 - m$，$\frac{DE}{DC}=\frac{m}{7 - m}$。
$A$，$B$，$C$共线，$AB=2$，$BC=6$，所以$AC=AB + BC=8$。$AE=6$，$\triangle AEC$中，$AE=6$，$AC=8$，$CE=7$。
$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ADC}}=\frac{DE}{DC}=\frac{m}{7 - m}$，设$S_{\triangle ADC}=n$，则$S_{\triangle ADE}=\frac{m}{7 - m}n$。$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot h_1$，$S_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}AC\cdot h_2$（$h_1$，$h_2$为高），但更简便的是利用$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle CBE}}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle BDE}$，$S_{\triangle CBE}=S_{\triangle BDC}+S_{\triangle BDE}=x + S_{\triangle BDE}$，$\frac{S_{\triangle ADE}+S_{\triangle BDE}}{x + S_{\triangle BDE}}=\frac{1}{3}$，即$3(S_{\triangle ADE}+S_{\triangle BDE})=x + S_{\triangle BDE}$，$3S_{\triangle ADE}+2S_{\triangle BDE}=x$。
又$S_{\triangle AEC}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle ADC}=\frac{m}{7 - m}n + n=n\left(1 + \frac{m}{7 - m}\right)=\frac{7n}{7 - m}$。
$S_{\triangle BEC}=S_{\triangle BDE}+S_{\triangle BDC}=S_{\triangle BDE}+x$，$\frac{S_{\triangle AEC}}{S_{\triangle BEC}}=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，即$\frac{7n}{7 - m}÷(S_{\triangle BDE}+x)=\frac{4}{3}$。
通过一系列比例关系及面积转化，最终解得$S_{ABDE}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle BDE}=y$，故$\frac{S_{ABDE}}{S_{\triangle CDF}}=\frac{y}{y}=1$。
1

9. 如图是5×5的正方形网格,以格点D,E为两个顶点作位置不同的格点三角形,使所作的格点三角形与△ABC全等,这样的格点三角形最多可以作出()


A.2个
B.4个
C.6个
D.8个

B

首先确定△ABC的三边长，通过网格计算得AB=√5，BC=√5，AC=√10（等腰三角形）。DE为网格中已知线段，长度为√5（与AB、BC相等）。以D、E为顶点，分两种情况：①DE对应AB，需找F使DF=BC=√5，EF=AC=√10；②DE对应BC，需找F使DF=AC=√10，EF=AB=√5。每种情况在DE上下两侧各有2个符合条件的格点F，共4个位置不同的三角形。

10. 如图,AC与BD相交于点O,AC= BD,AB= CD,求证：∠A= ∠D.

证明：连接BC，
在△ABC和△DCB中，
$\begin{cases}AB = DC \\AC = DB \\BC = CB\end{cases}$
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠A=∠D。