如图 15.2 - 8,在平面直角坐标系中,$\triangle ABC的三个顶点的坐标分别为A(- 2,5)$,$B(- 4,3)$,$C(- 1,1)$.
(1)作出$\triangle ABC向右平移5个单位长度后的\triangle A_1B_1C_1$；
(2)作出$\triangle ABC关于x轴对称的\triangle A_2B_2C_2$,并写出点$C_2$的坐标.

(1)
根据平移规律：向右平移5个单位，横坐标加5，纵坐标不变。
$A(-2,5)$平移后$A_1(3,5)$；$B(-4,3)$平移后$B_1(1,3)$；$C(-1,1)$平移后$C_1(4,1)$。
在平面直角坐标系中描出$A_1(3,5)$，$B_1(1,3)$，$C_1(4,1)$，顺次连接三点得到$\triangle A_1B_1C_1$。
(2)
根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数。
$A(-2,5)$关于$x$轴对称的点$A_2(-2,-5)$；$B(-4,3)$关于$x$轴对称的点$B_2(-4,-3)$；$C(-1,1)$关于$x$轴对称的点$C_2(-1,-1)$。
在平面直角坐标系中描出$A_2(-2,-5)$，$B_2(-4,-3)$，$C_2(-1,-1)$，顺次连接三点得到$\triangle A_2B_2C_2$。
点$C_2$的坐标为$(-1,-1)$。

1. 点$A(2,1)$关于$y$轴对称的点的坐标为,关于$x$轴对称的点的坐标为.

(-2,1)，(2,-1)

关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，所以点A(2,1)关于y轴对称的点的坐标为(-2,1)；关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以点A(2,1)关于x轴对称的点的坐标为(2,-1)。

2. 点$P(- 3,4)与点P_1(a - 1,b + 2)关于y$轴对称,则$a = $,$b = $.

4,2

关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数。点P(-3,4)与点P₁(a-1,b+2)关于y轴对称，所以a-1=3，b+2=4，解得a=4，b=2。

3. 如图,在平面直角坐标系中,线段$AB垂直于y$轴,垂足为$B$,且$AB = 2$. 如果将线段$AB沿y$轴翻折,点$A落在点C$处,那么点$C$的横坐标是.

$-2$

由于线段$AB$垂直于$y$轴，且$AB=2$，可知$A$的横坐标比$B$的横坐标大2（假设$A$在$B$的右侧，不影响结果）。
设$A$的坐标为$(x_A,y_A)$，$B$的坐标为$(0,y_A)$（因为$AB$垂直于$y$轴，所以$B$的横坐标为0，且$A$，$B$纵坐标相同）。
根据$AB$的长度，有$x_A - 0 = 2$，即$x_A = 2$。
当线段$AB$沿$y$轴翻折时，点$A$关于$y$轴对称到点$C$。
根据对称性质，点$C$的横坐标是点$A$横坐标的相反数，即$-2$。
点$C$的纵坐标与点$A$的纵坐标相同，即$y_A$，但题目只问点$C$的横坐标。
所以，点$C$的横坐标为$-2$。

4. 在平面直角坐标系中,将点$A(- 1,2)向右平移3个单位长度得到点B$,则点$B关于x轴的对称点B'$的坐标为()
A.$(- 3,- 2)$
B.$(2,2)$
C.$(- 2,2)$
D.$(2,- 2)$

D

1. 点$A(-1,2)$向右平移3个单位长度，横坐标加3，纵坐标不变，得到点$B$的坐标为$(-1+3, 2) = (2, 2)$。
2. 点$B(2,2)$关于$x$轴的对称点$B'$，横坐标不变，纵坐标取相反数，得到$B'(2, -2)$。

5. 已知点$A(- 2,1)与点B关于直线x = 1$对称,则点$B$的坐标是()
A.$(4,1)$
B.$(4,- 2)$
C.$(- 4,1)$
D.$(- 4,- 1)$

A

设点$B$的坐标为$(x,1)$，由于点$A$和点$B$关于直线$x = 1$对称，那么直线$x = 1$会平分线段$AB$，即线段$AB$的中点在直线$x = 1$上。
线段$AB$的中点横坐标为$\frac{-2 + x}{2}$，由于这个中点在直线$x = 1$上，所以有：
$\frac{-2 + x}{2} = 1$
解这个方程，得到：
$x = 4$
因此，点$B$的坐标为$(4, 1)$。

6. 已知点$A(a,b)和点B(c,d)关于y$轴对称,试求$3a + 3c+\frac{2b}{d}$的值.

根据题意，点$A(a, b)$和点$B(c, d)$关于$y$轴对称，则：
$c = -a$，$d = b$。
代入表达式：
$3a + 3c + \frac{2b}{d} = 3a + 3(-a) + \frac{2b}{b}$，
化简：
$3a - 3a + 2 = 2$。
最终结果为：$2$。