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1. 如图13.3-3,直线$a$,$b分别与黑板边缘形成\angle 1$,$\angle 2$,小明量出$\angle 1 = 71^{\circ}$,$\angle 2 = 78^{\circ}$,则可以算出直线$a$,$b$形成的锐角的度数是
31°
。答案
31°
解析
由题意知，黑板边缘为直线，故∠1、∠2与直线a,b形成的锐角构成平角。设直线a,b形成的锐角为∠3，则∠1+∠2+∠3=180°，所以∠3=180°-∠1-∠2=180°-71°-78°=31°。
2. 如图13.3-4,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 36^{\circ}$,$\angle C = 72^{\circ}$,$BD平分\angle ABC$,求$\angle DBC$的度数。
答案
在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}$（三角形内角和定理）。
已知$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle C = 72^{\circ}$，
则$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 36^{\circ} - 72^{\circ} = 72^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，
所以$\angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2} × 72^{\circ} = 36^{\circ}$。
$\angle DBC$的度数为$36^{\circ}$。
已知$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle C = 72^{\circ}$，
则$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 36^{\circ} - 72^{\circ} = 72^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，
所以$\angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2} × 72^{\circ} = 36^{\circ}$。
$\angle DBC$的度数为$36^{\circ}$。
1. 写出下列图中$x$的值：
(1)$x = $
(1)$x = $
45
； (2)$x = $75
。答案
(1)45；(2)75。
解析
(1) 对于第一个三角形，已知一个角为$90°$，另外两个角都为$x°$。
根据三角形内角和为$180°$，
有$x+x+90=180$，
即$2x=90$，
解得$x = 45$。
(2) 对于第二个三角形，已知一个角为$30°$，另外两个角都为$x°$。
根据三角形内角和为$180°$，
有$x+x+30=180$，
即$2x=150$，
解得$x = 75$。
根据三角形内角和为$180°$，
有$x+x+90=180$，
即$2x=90$，
解得$x = 45$。
(2) 对于第二个三角形，已知一个角为$30°$，另外两个角都为$x°$。
根据三角形内角和为$180°$，
有$x+x+30=180$，
即$2x=150$，
解得$x = 75$。
2. 如图,在$\triangle ABC$中,$BD和CE是\triangle ABC$的两条角平分线。若$\angle A = 52^{\circ}$,则$\angle 1 + \angle 2$的度数为
64°
。答案
64°
解析
在△ABC中，∠A=52°，根据三角形内角和定理，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=128°。
∵BD、CE是角平分线，∴∠1=1/2∠ABC，∠2=1/2∠ACB。
∴∠1+∠2=1/2(∠ABC+∠ACB)=1/2×128°=64°。
∵BD、CE是角平分线，∴∠1=1/2∠ABC，∠2=1/2∠ACB。
∴∠1+∠2=1/2(∠ABC+∠ACB)=1/2×128°=64°。
3. 如图,在点$D处看建筑物顶端A$,仰角$\angle ADC = 45^{\circ}$；向前走到点$C处看顶端A$,仰角$\angle ACB = 64^{\circ}$。则$\angle CAD = $
19°
。答案
19°
解析
在△ACD中，∠ACB是△ACD的外角，∠ACB=∠ADC+∠CAD，所以∠CAD=∠ACB - ∠ADC=64° - 45°=19°
4. 如图,考古学家发现在地下$A$处有一座古墓,古墓上方是天然气管道,为了不影响管道,准备在$B$,$C$处开工挖出“V”字形通道。若$\angle DBA = 120^{\circ}$,$\angle ECA = 135^{\circ}$,则$\angle A$的度数是
75°
。答案
75°
解析
因为∠DBA=120°，所以∠ABC=180° - 120°=60°；因为∠ECA=135°，所以∠ACB=180° - 135°=45°；在△ABC中，∠A=180° - ∠ABC - ∠ACB=180° - 60° - 45°=75°
5. 如图,是一块三角形木板的残余部分,量得$\angle A = 80^{\circ}$,$\angle B = 40^{\circ}$,这块三角形木板另外一个角的度数为(
A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
D
)A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
D
解析
根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为$180^{\circ}$。
已知$\angle A=80^{\circ}$，$\angle B = 40^{\circ}$，设另外一个角为$\angle C$，则$\angle C=180^{\circ}-\angle A - \angle B$。
把$\angle A = 80^{\circ}$，$\angle B = 40^{\circ}$代入可得：$\angle C=180^{\circ}-80^{\circ}-40^{\circ}=60^{\circ}$。
已知$\angle A=80^{\circ}$，$\angle B = 40^{\circ}$，设另外一个角为$\angle C$，则$\angle C=180^{\circ}-\angle A - \angle B$。
把$\angle A = 80^{\circ}$，$\angle B = 40^{\circ}$代入可得：$\angle C=180^{\circ}-80^{\circ}-40^{\circ}=60^{\circ}$。
