8. 已知式子$(a - 1)x^{3} - 2x - (a + 3)$.
(1)若它是关于$x$的一次式,求$a$的值并写出常数项；
(2)若它是关于$x$的三次二项式,求$a$的值并写出次数最高的项.

答题卡：
(1)
由于式子$(a - 1)x^{3} - 2x - (a + 3)$是关于$x$的一次式，那么它的三次项系数必须为0，即：
$a - 1 = 0$
解得：
$a = 1$
此时，原式变为：
$-2x - 4$
所以，常数项为$-4$。
(2)
由于式子$(a - 1)x^{3} - 2x - (a + 3)$是关于$x$的三次二项式，那么它不能包含常数项（即常数项为0），且三次项系数不为0，所以有：
$a + 3 = 0$
解得：
$a = -3$
此时，$a-1\neq0$，原式变为：
$-4x^{3} - 2x$
次数最高的项为$-4x^{3}$。

9. 已知多项式$-8x^{2}y^{m + 2} - xy^{3} + x是关于x$,$y$的七次多项式,关于$x$,$y的单项式6x^{2n}y^{m + 2}$与该多项式的次数相同,求$(n - m)^{3}$的值.

$-8$

因为多项式$-8x^{2}y^{m + 2} - xy^{3} + x$是关于$x$，$y$的七次多项式，多项式的次数为最高次项的次数。
各项次数：
第三项$x$的次数为$1$；
第二项$-xy^{3}$的次数为$1 + 3 = 4$；
第一项$-8x^{2}y^{m + 2}$的次数为$2 + (m + 2) = m + 4$。
故最高次项为第一项，所以$m + 4 = 7$，解得$m = 3$。
又因为单项式$6x^{2n}y^{m + 2}$与多项式次数相同（即7次），单项式次数为$2n + (m + 2)$，将$m = 3$代入得$2n + (3 + 2) = 7$，即$2n + 5 = 7$，解得$n = 1$。
则$(n - m)^{3} = (1 - 3)^{3} = (-2)^{3} = -8$。

10. 如图,某花园的护栏是用一些半圆形钢条围成的,半圆的直径为80 cm,且每增加1根半圆形钢条,护栏的长度就增加$a$ cm($a ＞ 0$).设半圆形钢条的总根数为$x$($x$为正整数),护栏的总长度为$y$ cm.
(1)当$a = 60$时,用含$x的代数式表示y$(结果要求化简)；
(2)用含$a$,$x的代数式表示y$(结果要求化简),并求当$a = 50$,$x = 41时y$的值.

(1) 由题意，当有$x$根半圆形钢条时，护栏长度$y$的基础长度为80cm（1根钢条时），每增加1根钢条长度增加$a$cm，共增加$(x-1)$次。当$a = 60$时，$y=80 + 60(x - 1)=60x + 20$。
(2) 通用表达式为$y=80 + a(x - 1)=ax + 80 - a$。当$a = 50$，$x = 41$时，$y=50×41 + 80 - 50=2050 + 30=2080$。
(1) $y=60x + 20$；(2) $y=ax - a + 80$，值为2080。

11. 暑假期间,某游泳馆针对学生推出两种优惠活动,活动内容如下.
活动一：购买一张30元优惠卡,每次游泳仅需5元.
活动二：不购买优惠卡,凭学生证,每次游泳需7元.
若某学生暑假期间游泳$x$次,按活动一、活动二分别花费$m$元、$n$元.
(1)$m = $,$n = $；(用含$x$的式子表示)
(2)小明计划暑假期间游泳25次,则他参与哪种活动比较划算？

(1)$m = 30 + 5x$，$n = 7x$；
(2)活动一

(1)
对于活动一，购买一张$30$元优惠卡，每次游泳仅需$5$元，游泳$x$次，则总费用$m = 30 + 5x$。
对于活动二，不购买优惠卡，凭学生证，每次游泳需$7$元，游泳$x$次，则总费用$n = 7x$。
(2)
当$x = 25$时，
活动一的费用$m=30 + 5×25=30 + 125 = 155$（元）。
活动二的费用$n = 7×25 = 175$（元）。
因为$155\lt175$，所以活动一比较划算。