5. 一个滑轮起重装置如图所示,滑轮的半径是 $10$cm,$OA$是滑轮的一条半径,当 $OA$绕轴心 $O$按逆时针方向旋转 $180^{\circ}$时,重物上升的高度为()

A.$10$cm
B.$10\pi$cm
C.$5$cm
D.$5\pi$cm

B

当OA绕轴心O逆时针旋转180°时，点A运动的轨迹是半径为10cm的半圆，其弧长为$\frac{180\pi×10}{180}=10\pi$cm。因为滑轮旋转时，绳子自由端移动的距离等于重物上升的高度，所以重物上升的高度为10πcm。

6. 如图,在平面直角坐标系中,点 $A$,$B$,$C$的坐标分别为$(1,4)$,$(5,4)$,$(1,0)$,则以 $A$,$B$,$C$为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是()

A.$(3,2)$
B.$(2,3)$
C.$(1,3)$
D.$(3,1)$

A

已知三点$A(1,4)$，$B(5,4)$，$C(1,0)$，由于$A$和$B$的纵坐标相同，
所以线段$AB$平行于$x$轴，其中点为$(\frac{1+5}{2},4)=(3,4)$，
$AB$的长度为$|5-1|=4$。
因为$A$和$C$的横坐标相同，
所以线段$AC$垂直于$x$轴，长度为$|4-0|=4$。
由于$AB$平行于$x$轴，$AC$垂直于$x$轴，
所以$\bigtriangleup ABC$是直角三角形，且直角在$A$点，
直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点，即$BC$的中点。
利用中点公式，$BC$的中点坐标为$(\frac{1+5}{2},\frac{0+4}{2})=(3,2)$。
所以，$\bigtriangleup ABC$的外接圆圆心坐标为$(3,2)$。

7. 如图,边长为 $2$的正方形 $ABCD$的四个顶点分别在扇形 $OEF$的半径 $OE$,$OF$和$\overset{\frown}{EF}$上,且点 $A$是线段 $OB$的中点,则$\overset{\frown}{EF}$的长为()

A.$\frac{\sqrt{5}}{5}\pi$
B.$\frac{\sqrt{5}}{4}\pi$
C.$\frac{1}{2}\pi$
D.$\frac{\sqrt{5}}{2}\pi$

D

设扇形半径为$R$，圆心角为$\theta$（弧度）。
∵正方形$ABCD$边长为2，$A$、$B$在半径$OE$上，$A$是$OB$中点，
∴设$OA = x$，则$OB = 2x$，$AB = OB - OA = x = 2$（正方形边长），故$OA = 2$，$OB = 4$。
∴$A(2,0)$，$B(4,0)$（以$O$为原点，$OE$为$x$轴建立坐标系）。
∵$ABCD$是正方形，$AD \perp AB$，$AD = 2$，∴$D(2,2)$；$BC \perp AB$，$BC = 2$，∴$C(4,2)$。
∵$D$在半径$OF$上，$OF$斜率$k = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$，故$\theta = \frac{\pi}{4}$（$\tan\theta = 1$）。
∵$C$在$\overset{\frown}{EF}$上，∴$OC = R = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$。
弧长$\overset{\frown}{EF} = R\theta = 2\sqrt{5} × \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}\pi$。

8. 若等边三角形 $ABC$的边长为 $4\sqrt{3}$,则它的内切圆半径的长是()
A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2$
D.$4$

C

过等边三角形中心作一边垂线，连接中心与一顶点，形成含30°角的直角三角形。边长为$4\sqrt{3}$，则半边长为$2\sqrt{3}$。设内切圆半径为$r$，则中心到顶点距离为$2r$。由勾股定理：$(2r)^2 - r^2 = (2\sqrt{3})^2$，$3r^2 = 12$，$r^2 = 4$，$r=2$。

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$BC = 10$,$AD\perp BC$于点 $D$,$AD = 12$,$P$是半径为 $3$的$\odot A$上一动点,连接 $PC$,若 $E$是 $PC$的中点,连接 $DE$,则 $DE$长的最大值为()

A.$8$
B.$8.5$
C.$9$
D.$9.5$

A

∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10，∴D为BC中点，BD=DC=5．
在Rt△ABD中，AD=12，BD=5，由勾股定理得AB=√(AD²+BD²)=√(12²+5²)=13．
取AC中点F，连接DF、EF．
∵D为BC中点，F为AC中点，∴DF是△ABC中位线，DF=1/2AB=13/2=6.5．
∵E为PC中点，F为AC中点，∴EF是△APC中位线，EF=1/2AP=3/2=1.5（AP为⊙A半径，AP=3）．
在△DEF中，DE≤DF+EF（当D、F、E共线时取等号），
∴DE最大值=6.5+1.5=8．

10. 如图,$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆,$AO// BC$,连接 $CO$并延长交$\odot O$于点 $D$.分别以点 $A$,$C$为圆心,以大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧,并使两弧交于圆外一点 $M$.直线 $OM$交 $BC$于点 $E$,连接 $AE$,下列结论不一定正确的是()

A.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$
B.$AB = OE$
C.$\angle AOD=\angle BAC$
D.四边形 $AOCE$为菱形

C

∵OM是AC的垂直平分线（尺规作图及外心性质），∴AN=CN，ON⊥AC。
A. ∵AO//BC，∴∠OAC=∠ACB。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACB=∠OCA=∠ACD，∴弧AB=弧AD（等圆周角对等弧），A正确。
B. 由△ANO≌△CNE（ASA）得AO=CE，ON=NE。∵AO//BC，∴AB=2Rsin∠ACB，OE=2ON=2Rsin∠ACB，∴AB=OE，B正确。
C. ∠AOD=弧AD（圆心角），∠BAC=1/2弧BC（圆周角）。∵弧AD=弧AB，若2弧AB=弧BC则∠AOD=∠BAC，否则不成立，C不一定正确。
D. ∵AE=CE，OA=OC，AO=CE（全等），∴AE=CE=OC=AO，四边形AOCE为菱形，D正确。