24. (12 分)如图,在菱形 $ ABCD $ 中, $ AB = 10 $ cm, $ \angle ABC = 60^{\circ} $, $ E $ 为对角线 $ AC $ 上一动点,以 $ DE $ 为一边作 $ \angle DEF = 60^{\circ} $, $ EF $ 交射线 $ BC $ 于点 $ F $,连接 $ BE $, $ DF $.点 $ E $ 从点 $ C $ 出发,沿 $ CA $ 方向以每秒 2 cm 的速度运动至点 $ A $ 处停止.设 $ \triangle BEF $ 的面积为 $ y $ cm^2,点 $ E $ 的运动时间为 $ x $ 秒.
(1) 求证: $ BE = EF $.
(2) 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围.
(3) 求 $ x $ 为何值时,线段 $ DF $ 的长度最短.

(1) 见解析；
(2) $y=-\sqrt{3}x^2+10\sqrt{3}x$（$0\leq x\leq5$）；
(3) $x=\frac{5}{2}$。

(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 为菱形，$AB=10\ cm$，$\angle ABC=60°$，
∴ $AB=BC=CD=AD$，$\triangle ABC$ 为等边三角形，$AC=10\ cm$。
∵ $AC$ 为菱形对角线，由对称性或 $\triangle ABE \cong \triangle ADE$（$SAS$），得 $BE=DE$。
建立坐标系：以 $C$ 为原点，$AC$ 为 $x$ 轴，$A(10,0)$，$C(0,0)$，$B(5,5\sqrt{3})$，$D(5,-5\sqrt{3})$，$E(2x,0)$。
设 $F$ 在射线 $BC$ 上，坐标为 $(t,\sqrt{3}t)$。由 $\angle DEF=60°$，利用向量夹角公式解得 $t=x-5$，即 $F(x-5,\sqrt{3}(x-5))$。
计算 $BE=\sqrt{(5-2x)^2+(5\sqrt{3})^2}=2\sqrt{x^2-5x+25}$，$EF=\sqrt{(2x-(x-5))^2+(0-\sqrt{3}(x-5))^2}=2\sqrt{x^2-5x+25}$，故 $BE=EF$。
(2) $y=-\sqrt{3}x^2+10\sqrt{3}x$，$0\leq x\leq5$。
解析：$B(5,5\sqrt{3})$ , $E(2x,0)$ , $F(x-5,\sqrt{3}(x-5))$，
面积 $y=\frac{1}{2}\left|5(0-\sqrt{3}(x-5))+2x(\sqrt{3}(x-5)-5\sqrt{3})+(x-5)(5\sqrt{3}-0)\right|=\sqrt{3}(10x-x^2)$。
(3) $x=\frac{5}{2}$ 时，$DF$ 最短。
解析：$D(5,-5\sqrt{3})$，$F(x-5,\sqrt{3}(x-5))$，
$DF=\sqrt{(10-x)^2+(-\sqrt{3}x)^2}=2\sqrt{x^2-5x+25}$。
二次函数 $x^2-5x+25$ 对称轴 $x=\frac{5}{2}$，故 $x=\frac{5}{2}$ 时 $DF$ 最短。