22. (12分)为满足市场需求,某超市进购一种糕点,每盒进价是 $ 40 $ 元,该超市规定每盒售价不得少于 $ 45 $ 元.根据市场调研:当售价定为每盒 $ 45 $ 元时,每天可以卖出 $ 700 $ 盒,每盒售价每提高 $ 1 $ 元,每天要少卖出 $ 20 $ 盒.
(1) 试求出每天的销售量 $ y $(单位:盒)与每盒售价 $ x $(单位:元)之间的函数关系式.
(2) 当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润 $ P $(单位:元)最大?最大利润是多少?
(3) 为稳定物价,有关管理部门规定:这种糕点的每盒售价不得高于 $ 58 $ 元,如果超市每天想要获得不低于 $ 6000 $ 元的利润,那么超市每天至少销售糕点多少盒?

(1)根据题意，当售价为$45$元时，销售量为$700$盒。每提高$1$元售价，销售量减少$20$盒。
设售价为$x$元，则销售量$y$可以表示为：
$y = 700 - 20(x - 45) = -20x + 1600$。
(2)每盒糕点的进价是$40$元，售价是$x$元，则每盒的利润是$x - 40$元。
因此，总利润$P$可以表示为：
$P = (x - 40)(-20x + 1600) = -20x^2 + 2400x - 64000= -20(x - 60)^2 + 8000$。
由于这是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处，即$x = 60$。
此时，最大利润$P_{max} = 8000$元。
答：当每盒售价定为$60$元时，每天销售的利润最大，最大利润是$8000$元。
(3)要求每天获得不低于$6000$元的利润，即：
$-20(x - 60)^2 + 8000 \geq 6000$，
解得：$50 \leq x \leq 70$。
但题目规定售价不得高于$58$元，因此$50 \leq x \leq 58$。
销售量$y = -20x + 1600$，在这个范围内，$y$随$x$的增大而减小。
因此，当$x = 58$时，$y$取得最小值，即：
$y_{min} = -20 × 58 + 1600 = 440$。
答：超市每天至少销售糕点$440$盒。