1. 由棱长是1 cm的若干个小正方体组成如图所示的几何体,那么这个几何体的表面积是()

A.$36 \, cm^2$
B.$33 \, cm^2$
C.$32 \, cm^2$
D.$27 \, cm^2$

C

从六个方向（前、后、左、右、上、下）分别数露在外面的小正方形个数。前面8个，后面8个，左面8个，右面8个，上面4个，下面4个。总表面积为8+8+8+8+4+4=32(cm²)。

2. 将抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后得到$y = -(x - 2)^2 + 3$,则原抛物线的表达式为()
A.$y = -(x + 1)^2 + 1$
B.$y = -(x - 1)^2 - 1$
C.$y = -x^2$
D.$y = -(x - 5)^2 + 5$

A

设原抛物线的表达式为 $y = - (x - h)^2 + k$（由于平移不改变抛物线的开口方向和大小，所以二次项系数保持不变，仍为-1）。
根据平移规律“左加右减，上加下减”，将抛物线 $y = - (x - h)^2 + k$ 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到新的抛物线表达式为 $y = - (x - h - 3)^2 + k + 2$。
由题意知，这个新的抛物线表达式等于 $y = - (x - 2)^2 + 3$，所以我们有：
$- (x - h - 3)^2 + k + 2 = - (x - 2)^2 + 3$，
由于两个抛物线表达式完全相等，所以它们的对应项系数必须相等。即：
$h + 3 = 2$，
$k + 2 = 3$，
解这两个方程，我们得到：
$h = -1$，
$k = 1$，
将 $h$ 和 $k$ 的值代入原抛物线的表达式，得到：
$y = - (x + 1)^2 + 1$。

3. 如图,菱形$ABCD$的顶点$A(-1,4)$,$B(-4,0)$,顶点$C$在$x$轴上,反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象经过顶点$D$,则$k$的值为()

A.8
B.12
C.16
D.24

C

∵菱形ABCD，A(-1,4)，B(-4,0)，C在x轴上，设C(c,0)。
AB长度：√[(-1+4)²+(4-0)²]=√(9+16)=5。
∵BC=AB=5，B(-4,0)，∴|c+4|=5，C在x轴正半轴（D在x＞0区域），故c=1，即C(1,0)。
∵AD//BC，BC在x轴上，∴AD为水平线，A(-1,4)，则D(d,4)。
AB//CD，AB斜率=(0-4)/(-4+1)=4/3，CD斜率=4/(d-1)，∴4/3=4/(d-1)，得d=4，即D(4,4)。
反比例函数y=k/x过D(4,4)，∴k=4×4=16。

4. 如图,$P_1$,$P_2$,$P_3$是双曲线上的三点,过这三点分别作$y$轴的垂线得到$\triangle P_1A_1O$,$\triangle P_2A_2O$,$\triangle P_3A_3O$.设它们的面积分别是$S_1$,$S_2$,$S_3$,则()

A.$S_1 = S_2 = S_3$
B.$S_2 ＜ S_1 ＜ S_3$
C.$S_1 ＜ S_3 ＜ S_2$
D.$S_1 ＜ S_2 ＜ S_3$

A

设三点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，$P_3(x_3,y_3)$是双曲线$y = \frac{k}{x}$（$k\neq0$）上的点。
根据反比例函数$k$的几何意义，过双曲线上任意一点$P(x,y)$作$y$轴的垂线，所得三角形的面积$S=\frac{1}{2}\vert k\vert$。
因为三点$P_1$，$P_2$，$P_3$都在双曲线上，所以$S_1 = S_2=S_3=\frac{1}{2}\vert k\vert$。

5. 一次函数$y = ax + a$($a$为常数,$a \neq 0$)与反比例函数$y = \frac{a}{x}$($a$为常数,$a \neq 0$)在同一平面直角坐标系内的图象大致为()

D

分两种情况讨论：
1. 当$a ＞ 0$时，反比例函数$y = \frac{a}{x}$图象在第一、三象限；一次函数$y = ax + a$斜率为正（直线上升），与y轴交于正半轴，与x轴交于$(-1,0)$，图象经过第一、二、三象限。此时无选项符合。
2. 当$a ＜ 0$时，反比例函数$y = \frac{a}{x}$图象在第二、四象限；一次函数$y = ax + a$斜率为负（直线下降），与y轴交于负半轴，与x轴交于$(-1,0)$，图象经过第二、三、四象限。选项D符合此情况。