19. (8分)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”,康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售,根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元,设每辆轮椅降价$x$元,每天的销售利润为$y$元.
(1) 求$y$与$x$的函数关系式.当每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
(2) 全国助残日当天,公司共获得销售利润12160元,请问这天售出了多少辆轮椅?

(1) 每辆利润为$(200 - x)$元，销售量为$60 + \frac{4}{10}x = 60 + 0.4x$辆。
$y=(200 - x)(60 + 0.4x)$，展开得：
$y=-0.4x^2 + 20x + 12000$。
由$200 - x \geq 180$得$x \leq 20$，故$0 \leq x \leq 20$。
二次函数$y=-0.4x^2 + 20x + 12000$，$a=-0.4＜0$，对称轴$x=25$，在$0 \leq x \leq 20$上递增，
当$x=20$时，$y_{max}=-0.4×20^2 + 20×20 + 12000=12240$元。
(2) 当$y=12160$时，$-0.4x^2 + 20x + 12000=12160$，
整理得$x^2 - 50x + 400=0$，解得$x_1=10$，$x_2=40$（舍）。
销售量为$60 + 0.4×10=64$辆。
(1) 函数关系式为$y=-0.4x^2 + 20x + 12000(0\leq x\leq20)$；降价20元时，最大利润12240元。
(2) 64辆。

20. (8分)如图,正比例函数$y = x$与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象交于点$A(\sqrt{6},a)$,将正比例函数图象向下平移$n(n ＞ 0)$个单位后,与反比例函数图象在第一、三象限交于点$B,C$,与$x$轴,$y$轴交于点$D,E$,且满足$BE:CE = 3:2$.过点$B$作$BF \perp x$轴,垂足为点$F$,$G$为$x$轴上一点,直线$BC$与$BG$关于直线$BF$成轴对称,连接$CG$.
(1) 求反比例函数的表达式;
(2) 求$n$的值及$\triangle BCG$的面积.

(1)$y=\frac{6}{x}$；(2)$n=1$，$\triangle BCG$面积为$10$。

(1) 因为点$A(\sqrt{6},a)$在正比例函数$y=x$上，所以$a=\sqrt{6}$，即$A(\sqrt{6},\sqrt{6})$。
将$A(\sqrt{6},\sqrt{6})$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$\sqrt{6}=\frac{k}{\sqrt{6}}$，解得$k=6$。
故反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 正比例函数$y=x$向下平移$n$个单位后得直线$y=x-n$，与$y$轴交于$E(0,-n)$，与$x$轴交于$D(n,0)$。
联立$\begin{cases}y=x-n\\y=\frac{6}{x}\end{cases}$，得$x^2 -nx -6=0$。设$B(x_1,y_1)$，$C(x_2,y_2)$，则$x_1+x_2=n$，$x_1x_2=-6$。
由$BE:CE=3:2$，设$E$分$BC$的比为$\lambda=\frac{BE}{EC}=\frac{3}{2}$，根据定比分点公式：$0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}$，即$x_1=-\frac{3}{2}x_2$。
代入$x_1x_2=-6$，得$-\frac{3}{2}x_2^2=-6$，解得$x_2=-2$（$C$在第三象限），则$x_1=3$。
由$x_1+x_2=n$，得$n=3+(-2)=1$。
此时$B(3,2)$，$C(-2,-3)$，$E(0,-1)$。
$BF\perp x$轴，$F(3,0)$，直线$BF$为$x=3$。$C(-2,-3)$关于$x=3$的对称点为$C'(8,-3)$，直线$BG$即直线$BC'$，方程为$y=-x+5$。
令$y=0$，得$G(5,0)$。
$\triangle BCG$的面积：$\frac{1}{2}×|3×(-3-0)+(-2)×(0-2)+5×(2+3)|=\frac{1}{2}×| -9 + 4 + 25|=10$。