(2026·滨州期末)【背景】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.重心是个物理名词,从效果上看,我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点,这一点叫物体的重心.如图①,如果取一块均匀的三角形纸板,用一根细线绳从重心O处将三角形提起来,纸板就会处于水平状态.
(1)【证明】学了这个知识后,小明遇到这样一个问题:如图②,点G为△ABC的重心,连接CG,AG并延长分别交AB,BC于点E,F,连接EF,通过观察,他发现$\frac{GF}{GA}=\frac{1}{2}$,请你帮他证明一下.这个发现非常重要,由以上的证明你得到的结论是.
(2)【应用】如图③,在△ABC中,已知AD是BC边的中线,G是△ABC的重心,过点G的直线分别交AB,AC于点E,F.当EF//BC时,求证:$\frac{BE}{EA}+\frac{CF}{FA}=1$.
(3)【提升】如图④,AD是边BC的中线,G是△ABC的重心,当EF和BC不平行,且点E,F分别在线段AB,AC上时,【应用】中的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.

1.
∵ 点 G 为△ABC 的重心,
∴ 点 F,E 分别为线段 BC,BA 的中点,
∴ EF 是△ABC 的中位线,
∴ EF // AC, EF = $\frac{1}{2}AC$,
∴ △EFG∽△CAG,
∴ $\frac{EF}{CA}=\frac{EG}{CG}=\frac{FG}{AG}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{GF}{GA}=\frac{1}{2}$.
得到结论:三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 : 1
2.
∵ 点 G 是△ABC 的重心,
∴ $\frac{AG}{GD}=2$.
又
∵ EF//BC,
∴ $\frac{BE}{EA}=\frac{GD}{AG}=\frac{CF}{AF}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{BE}{EA}+\frac{CF}{FA}=1$.
3. 应用中的结论成立.理由如下:如图,过点 A 作 AN//BC 交 EF 的延长线于点 N,FE 与 CB 的延长线相交于点 M.

则△BME∽△ANE,△CMF∽△ANF,△DMG∽△ANG,
∴ $\frac{BE}{AE}=\frac{BM}{AN}$,$\frac{CF}{AF}=\frac{CM}{AN}$,$\frac{DM}{AN}=\frac{DG}{AG}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=\frac{BM}{AN}+\frac{CM}{AN}=\frac{BM+CM}{AN}$.
又
∵ BM+CM = BM+CD+DM,而 D 是 BC 的中点,即 BD = CD,
∴ BM+CM = BM+BD+DM = DM+DM = 2DM,
∴ $\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=\frac{2DM}{AN}$.
又
∵ $\frac{DM}{AN}=\frac{DG}{AG}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{BE}{EA}+\frac{CF}{FA}=2×\frac{1}{2}=1$,故结论成立.