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14. (10分)(2025伊犁州期末)本学期学习了一元一次方程的解法,下面是小萌同学的解题过程:
解方程:$\frac{x+1}{2} -2=\frac{x}{4}$.
解:去分母(方程两边乘4),得$2(x+1)-2=x$. ……………………………第一步
去括号,得$2x+2-2=x$. ……………第二步
移项,得$2x -x=2$. …………………第三步
合并同类项,得$x=2$. …………………第四步
(1)以上求解步骤中,第一步的依据是
(2)上述小萌的解题过程从第
(3)请帮小萌改正错误,写出完整的解题过程.
解方程:$\frac{x+1}{2} -2=\frac{x}{4}$.
解:去分母(方程两边乘4),得$2(x+1)-2=x$. ……………………………第一步
去括号,得$2x+2-2=x$. ……………第二步
移项,得$2x -x=2$. …………………第三步
合并同类项,得$x=2$. …………………第四步
(1)以上求解步骤中,第一步的依据是
等式的性质2
;(2)上述小萌的解题过程从第
一
步开始出现错误;(3)请帮小萌改正错误,写出完整的解题过程.
答案
14. 解:(1)等式的性质2 (2)一
(3)去分母(方程两边乘4),得$2(x+1)-8=x$.
去括号,得$2x+2-8=x$.
移项,得$2x-x=8-2$.
合并同类项,得$x=6$.
(3)去分母(方程两边乘4),得$2(x+1)-8=x$.
去括号,得$2x+2-8=x$.
移项,得$2x-x=8-2$.
合并同类项,得$x=6$.
解析
【分析】
(1) 去分母的操作是给方程两边同时乘同一个不为0的数，对应等式的性质2，据此即可作答；
(2) 检查去分母步骤：方程两边同乘公分母时，所有项都要乘公分母，小萌第一步去分母时，左侧常数项-2漏乘4，因此从第一步就开始出错；
(3) 按照解一元一次方程的规范步骤改正即可：先去分母（所有项同乘4），再去括号，之后移项（移项要变号），最后合并同类项得到方程的解。
【解析】
(1) 去分母的依据是等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
(2) 第一步去分母时，左边的常数项-2没有乘4，因此解题过程从第一步开始出现错误；
(3) 完整解题过程：
去分母(方程两边乘4)，得$2(x+1)-8=x$.
去括号，得$2x+2-8=x$.
移项，得$2x-x=8-2$.
合并同类项，得$x=6$.
【答案】
(1) 等式的性质2
(2) 一
(3) 去分母(方程两边乘4),得$2(x+1)-8=x$.
去括号,得$2x+2-8=x$.
移项,得$2x-x=8-2$.
合并同类项,得$x=6$.
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程，去括号法则
【点评】
本题重点考查一元一次方程的解法，核心易错点为去分母时漏乘不含分母的项、移项忘记变号，熟练掌握解方程的每一步操作要求，即可避免同类错误。
【难度系数】
0.8
(1) 去分母的操作是给方程两边同时乘同一个不为0的数，对应等式的性质2，据此即可作答；
(2) 检查去分母步骤：方程两边同乘公分母时，所有项都要乘公分母，小萌第一步去分母时，左侧常数项-2漏乘4，因此从第一步就开始出错；
(3) 按照解一元一次方程的规范步骤改正即可：先去分母（所有项同乘4），再去括号，之后移项（移项要变号），最后合并同类项得到方程的解。
【解析】
(1) 去分母的依据是等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
(2) 第一步去分母时，左边的常数项-2没有乘4，因此解题过程从第一步开始出现错误；
(3) 完整解题过程：
去分母(方程两边乘4)，得$2(x+1)-8=x$.
去括号，得$2x+2-8=x$.
移项，得$2x-x=8-2$.
合并同类项，得$x=6$.
【答案】
(1) 等式的性质2
(2) 一
(3) 去分母(方程两边乘4),得$2(x+1)-8=x$.
去括号,得$2x+2-8=x$.
移项,得$2x-x=8-2$.
合并同类项,得$x=6$.
【知识点】
等式的性质，解一元一次方程，去括号法则
【点评】
本题重点考查一元一次方程的解法，核心易错点为去分母时漏乘不含分母的项、移项忘记变号，熟练掌握解方程的每一步操作要求，即可避免同类错误。
【难度系数】
0.8
15. (14分)某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生,购买了30支钢笔,45支毛笔,共用了1755元,其中每支毛笔比钢笔贵4元.
(1)求每支钢笔和每支毛笔的售价各为多少元.
(2)①学校仍需要购买上面的两种笔共105支(每种笔的售价不变).陈老师做完预算后,向财务处王老师说:“我这次买这两种笔需领2447元.”王老师算了一下,说:“如果你用这些钱只买这两种笔,那么账肯定算错了.”请你用学过的方程 知 识 解释王老师为什么说陈老师用这些钱只买这两种笔的账算错了.
②陈老师突然想起,所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔.如果每支签字笔的售价为小于10元的整数,那么每支签字笔的售价可能为
(1)求每支钢笔和每支毛笔的售价各为多少元.
(2)①学校仍需要购买上面的两种笔共105支(每种笔的售价不变).陈老师做完预算后,向财务处王老师说:“我这次买这两种笔需领2447元.”王老师算了一下,说:“如果你用这些钱只买这两种笔,那么账肯定算错了.”请你用学过的方
②陈老师突然想起,所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔.如果每支签字笔的售价为小于10元的整数,那么每支签字笔的售价可能为
2元或6元
.答案
15. 解:(1)设每支钢笔的售价为$x$元,则每支毛笔的售价为$(x+4)$元.
根据题意,得$30x+45(x+4)=1755$,
解得$x=21$.进而$x+4=25$.
答:每支钢笔的售价为21元,每支毛笔的售价为25元.
(2)①设买钢笔$y$支,则买毛笔$(105-y)$支.
根据题意,得$21y+25(105-y)=2447$,
解得$y=44.5$(不符合题意).
所以王老师说陈老师用这些钱只买这两种笔的账算错了.
②2元或6元
根据题意,得$30x+45(x+4)=1755$,
解得$x=21$.进而$x+4=25$.
答:每支钢笔的售价为21元,每支毛笔的售价为25元.
(2)①设买钢笔$y$支,则买毛笔$(105-y)$支.
根据题意,得$21y+25(105-y)=2447$,
解得$y=44.5$(不符合题意).
所以王老师说陈老师用这些钱只买这两种笔的账算错了.
②2元或6元
解析
【分析】
(1) 本题属于购物费用类一元一次方程应用题，已知两种笔的购买数量、总花费及单价差，可设钢笔单价为未知数，用含未知数的式子表示毛笔单价，再根据“钢笔总费用+毛笔总费用=总花费”的等量关系列方程求解。
(2) ① 要判断账目是否错误，先设购买钢笔的数量为未知数，结合两种笔共105支表示出毛笔数量，按总费用2447元列方程，若解出的笔的数量不是正整数，就说明账目算错，因为笔的数量只能是正整数。
② 设签字笔单价为a元（a为小于10的正整数），则两种笔的总费用为(2447-a)元，列方程整理后，结合a的取值范围和整除的性质，即可求出符合要求的a的值。
【解析】
(1) 设每支钢笔的售价为$x$元，则每支毛笔的售价为$(x+4)$元。
根据题意列方程：
$30x+45(x+4)=1755$
去括号得：$30x + 45x + 180 = 1755$
合并同类项得：$75x = 1575$
解得：$x=21$
则毛笔单价为$x+4=21+4=25$元。
(2) ① 设买钢笔$y$支，则买毛笔$(105-y)$支。
根据题意列方程：
$21y+25(105-y)=2447$
去括号得：$21y + 2625 - 25y = 2447$
合并同类项得：$-4y = -178$
解得：$y=44.5$
由于笔的购买数量必须为正整数，$y=44.5$不符合实际意义，因此陈老师的账算错了。
② 设签字笔售价为$a$元（$a$是小于10的正整数），则两种笔总费用为$(2447-a)$元，列方程得：
$21y + 25(105-y) = 2447 - a$
整理得：$4y = 178 + a$
因为$y$是正整数，所以$178+a$必须是4的正整数倍。
结合$1≤ a＜10$且$a$为整数，验证得：
当$a=2$时，$178+2=180$，$180÷4=45$，符合要求；
当$a=6$时，$178+6=184$，$184÷4=46$，符合要求；
其余$a$值均不满足条件，故签字笔售价可能为2元或6元。
【答案】
(1) 每支钢笔售价21元，每支毛笔售价25元；
(2) ① 所解方程的解为非整数，不符合笔的数量为正整数的实际意义，故账目算错；② 2元或6元
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 方程整数解判定
【点评】
本题以校园采购为背景，贴合生活实际，重点考查列一元一次方程解决实际问题的能力，解题时需要结合实际意义验证解的合理性，最后一问需要结合整除性质筛选符合条件的解，综合性较强。
【难度系数】
0.6
(1) 本题属于购物费用类一元一次方程应用题，已知两种笔的购买数量、总花费及单价差，可设钢笔单价为未知数，用含未知数的式子表示毛笔单价，再根据“钢笔总费用+毛笔总费用=总花费”的等量关系列方程求解。
(2) ① 要判断账目是否错误，先设购买钢笔的数量为未知数，结合两种笔共105支表示出毛笔数量，按总费用2447元列方程，若解出的笔的数量不是正整数，就说明账目算错，因为笔的数量只能是正整数。
② 设签字笔单价为a元（a为小于10的正整数），则两种笔的总费用为(2447-a)元，列方程整理后，结合a的取值范围和整除的性质，即可求出符合要求的a的值。
【解析】
(1) 设每支钢笔的售价为$x$元，则每支毛笔的售价为$(x+4)$元。
根据题意列方程：
$30x+45(x+4)=1755$
去括号得：$30x + 45x + 180 = 1755$
合并同类项得：$75x = 1575$
解得：$x=21$
则毛笔单价为$x+4=21+4=25$元。
(2) ① 设买钢笔$y$支，则买毛笔$(105-y)$支。
根据题意列方程：
$21y+25(105-y)=2447$
去括号得：$21y + 2625 - 25y = 2447$
合并同类项得：$-4y = -178$
解得：$y=44.5$
由于笔的购买数量必须为正整数，$y=44.5$不符合实际意义，因此陈老师的账算错了。
② 设签字笔售价为$a$元（$a$是小于10的正整数），则两种笔总费用为$(2447-a)$元，列方程得：
$21y + 25(105-y) = 2447 - a$
整理得：$4y = 178 + a$
因为$y$是正整数，所以$178+a$必须是4的正整数倍。
结合$1≤ a＜10$且$a$为整数，验证得：
当$a=2$时，$178+2=180$，$180÷4=45$，符合要求；
当$a=6$时，$178+6=184$，$184÷4=46$，符合要求；
其余$a$值均不满足条件，故签字笔售价可能为2元或6元。
【答案】
(1) 每支钢笔售价21元，每支毛笔售价25元；
(2) ① 所解方程的解为非整数，不符合笔的数量为正整数的实际意义，故账目算错；② 2元或6元
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 方程整数解判定
【点评】
本题以校园采购为背景，贴合生活实际，重点考查列一元一次方程解决实际问题的能力，解题时需要结合实际意义验证解的合理性，最后一问需要结合整除性质筛选符合条件的解，综合性较强。
【难度系数】
0.6
