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7.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场。设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是(
A.$\frac{1}{2}x(x+1)=110$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=110$
C.$x(x+1)=110$
D.$x(x-1)=110$
D
)。A.$\frac{1}{2}x(x+1)=110$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=110$
C.$x(x+1)=110$
D.$x(x-1)=110$
答案
7. D
解析
【分析】
首先明确本题属于双循环比赛的实际应用问题，解题思路如下：第一步，先确定每支球队的比赛场次，共有x支球队，每支球队不需要和自己比赛，因此每支球队要和其余(x-1)支球队对阵；第二步，区分单循环和双循环的计数规则：如果是每两队只赛1场（单循环），那么两队之间的比赛会被重复计算1次，总场次需要除以2；本题要求每两队之间赛2场，刚好对应分别从两队视角计数的2次，不需要除以2；第三步，结合总比赛场次为110场，即可列出对应的方程。
【解析】
设参加比赛的球队有x支。
1. 每支球队需要与除自身外的$(x-1)$支球队进行比赛；
2. 因为每两支球队之间要进行两场比赛，不存在重复计数的情况，因此总比赛场次为$x(x-1)$；
3. 已知共要比赛110场，因此可列方程：$x(x-1)=110$。
因此方程正确的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 双循环比赛计数 2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题的易错点是混淆单循环和双循环的计数规则，解题时要注意：单循环（每两队赛1场）总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环（每两队赛2场）总场次为$x(x-1)$，结合题目给定的比赛规则列式即可。
【难度系数】
0.7
首先明确本题属于双循环比赛的实际应用问题，解题思路如下：第一步，先确定每支球队的比赛场次，共有x支球队，每支球队不需要和自己比赛，因此每支球队要和其余(x-1)支球队对阵；第二步，区分单循环和双循环的计数规则：如果是每两队只赛1场（单循环），那么两队之间的比赛会被重复计算1次，总场次需要除以2；本题要求每两队之间赛2场，刚好对应分别从两队视角计数的2次，不需要除以2；第三步，结合总比赛场次为110场，即可列出对应的方程。
【解析】
设参加比赛的球队有x支。
1. 每支球队需要与除自身外的$(x-1)$支球队进行比赛；
2. 因为每两支球队之间要进行两场比赛，不存在重复计数的情况，因此总比赛场次为$x(x-1)$；
3. 已知共要比赛110场，因此可列方程：$x(x-1)=110$。
因此方程正确的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 双循环比赛计数 2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题的易错点是混淆单循环和双循环的计数规则，解题时要注意：单循环（每两队赛1场）总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，双循环（每两队赛2场）总场次为$x(x-1)$，结合题目给定的比赛规则列式即可。
【难度系数】
0.7
1. 若方程$(m-1)x^2 - \sqrt{m}x = 3$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的取值范围是(
A.$m≠1$
B.$m≥0$
C.$m≥0$且$m≠1$
D.任意实数
C
)。A.$m≠1$
B.$m≥0$
C.$m≥0$且$m≠1$
D.任意实数
答案
1. C
解析
【分析】
要解决本题，需结合两个核心限制条件推导m的取值范围：第一，一元二次方程的定义要求方程的二次项系数不能为0；第二，式子中存在二次根式√m，根据二次根式有意义的要求，被开方数必须是非负数。将两个条件得到的m的范围联立，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 方程$(m-1)x^2 - \sqrt{m}x = 3$是关于x的一元二次方程
∴ 首先满足二次项系数不为0，即：
$m-1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$
又
∵ 二次根式$\sqrt{m}$有意义，被开方数需非负，即：
$m ≥ 0$
综上，m的取值范围是$m ≥ 0$且$m ≠ 1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易遗漏其中一个限制条件，比如只考虑二次项系数不为0误选A，或只考虑二次根式有意义误选B，做这类题时要先找出所有隐含的限制条件，再联立求解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合两个核心限制条件推导m的取值范围：第一，一元二次方程的定义要求方程的二次项系数不能为0；第二，式子中存在二次根式√m，根据二次根式有意义的要求，被开方数必须是非负数。将两个条件得到的m的范围联立，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 方程$(m-1)x^2 - \sqrt{m}x = 3$是关于x的一元二次方程
∴ 首先满足二次项系数不为0，即：
$m-1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$
又
∵ 二次根式$\sqrt{m}$有意义，被开方数需非负，即：
$m ≥ 0$
综上，m的取值范围是$m ≥ 0$且$m ≠ 1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易遗漏其中一个限制条件，比如只考虑二次项系数不为0误选A，或只考虑二次根式有意义误选B，做这类题时要先找出所有隐含的限制条件，再联立求解。
【难度系数】
0.7
2. 已知关于x的方程$(m-1)x^2 + (m+1)x + 3m - 2 = 0$,当m______时,方程为一元一次方程;当m______时,方程为一元二次方程。
答案
2. =1 ≠1
解析
【分析】
解题的核心是依据一元一次方程和一元二次方程的定义确定参数m的取值条件。首先回忆定义：一元一次方程要求只含1个未知数、未知数最高次数为1且一次项系数不为0，因此需让方程的二次项系数为0，同时验证一次项系数不为0；一元二次方程要求只含1个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0，因此只需保证二次项系数不为0即可，据此列等式或不等式求解m。
【解析】
1. 若方程为一元一次方程：
需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，列条件得：
$\begin{cases}m-1=0 \\m+1≠0\end{cases}$
解$m-1=0$得$m=1$，代入$m+1$得$1+1=2≠0$，符合要求，因此$m=1$。
2. 若方程为一元二次方程：
需满足二次项系数不为0，列不等式得：
$m-1≠0$
解得$m≠1$。
【答案】
=1；≠1
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义
【点评】
本题为基础概念类题型，解题关键是准确掌握两类整式方程的定义特征，尤其要注意最高次项系数不能为0的隐含限制，避免因忽略限制出现错误。
【难度系数】
0.9
解题的核心是依据一元一次方程和一元二次方程的定义确定参数m的取值条件。首先回忆定义：一元一次方程要求只含1个未知数、未知数最高次数为1且一次项系数不为0，因此需让方程的二次项系数为0，同时验证一次项系数不为0；一元二次方程要求只含1个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0，因此只需保证二次项系数不为0即可，据此列等式或不等式求解m。
【解析】
1. 若方程为一元一次方程：
需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，列条件得：
$\begin{cases}m-1=0 \\m+1≠0\end{cases}$
解$m-1=0$得$m=1$，代入$m+1$得$1+1=2≠0$，符合要求，因此$m=1$。
2. 若方程为一元二次方程：
需满足二次项系数不为0，列不等式得：
$m-1≠0$
解得$m≠1$。
【答案】
=1；≠1
【知识点】
一元一次方程的定义；一元二次方程的定义
【点评】
本题为基础概念类题型，解题关键是准确掌握两类整式方程的定义特征，尤其要注意最高次项系数不能为0的隐含限制，避免因忽略限制出现错误。
【难度系数】
0.9
3. 设a是一元二次方程的二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且a,b,c满足$(\dfrac{1}{2}a - 2)^2 + |b + 3| + \sqrt{a + b + c} = 0$，写出这个关于x的一元二次方程：
$4x^2 - 3x - 1 = 0$
。答案
3. $4x^2 - 3x - 1 = 0$
解析
【分析】
平方、绝对值、算术平方根都属于非负数，即它们的取值都大于等于0。当几个非负数相加和为0时，每个非负数都必须等于0，这是解题的核心依据。我们可以根据这个性质分别列关于a、b、c的方程，依次求出三者的取值，再代入一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）即可得到所求方程。
【解析】
解：
∵平方、绝对值、算术平方根均为非负数，且$(\dfrac{1}{2}a - 2)^2 + |b + 3| + \sqrt{a + b + c} = 0$
∴每个非负数的值都为0，可列等式：
1. $\dfrac{1}{2}a-2=0$，解得$\dfrac{1}{2}a=2$，$a=4$
2. $b+3=0$，解得$b=-3$
3. $a+b+c=0$，将$a=4$、$b=-3$代入得：$4-3+c=0$，解得$c=-1$
∵a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，代入一元二次方程一般形式得：
$4x^2-3x-1=0$
【答案】
$4x^2 - 3x - 1 = 0$
【知识点】
非负数的性质；一元二次方程的一般形式；解一元一次方程
【点评】
本题侧重基础概念的考查，解题的关键是牢记非负数的性质，准确求出a、b、c的取值后即可轻松写出对应方程。
【难度系数】
0.7
平方、绝对值、算术平方根都属于非负数，即它们的取值都大于等于0。当几个非负数相加和为0时，每个非负数都必须等于0，这是解题的核心依据。我们可以根据这个性质分别列关于a、b、c的方程，依次求出三者的取值，再代入一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）即可得到所求方程。
【解析】
解：
∵平方、绝对值、算术平方根均为非负数，且$(\dfrac{1}{2}a - 2)^2 + |b + 3| + \sqrt{a + b + c} = 0$
∴每个非负数的值都为0，可列等式：
1. $\dfrac{1}{2}a-2=0$，解得$\dfrac{1}{2}a=2$，$a=4$
2. $b+3=0$，解得$b=-3$
3. $a+b+c=0$，将$a=4$、$b=-3$代入得：$4-3+c=0$，解得$c=-1$
∵a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，代入一元二次方程一般形式得：
$4x^2-3x-1=0$
【答案】
$4x^2 - 3x - 1 = 0$
【知识点】
非负数的性质；一元二次方程的一般形式；解一元一次方程
【点评】
本题侧重基础概念的考查，解题的关键是牢记非负数的性质，准确求出a、b、c的取值后即可轻松写出对应方程。
【难度系数】
0.7
4. 两个连续奇数的平方和等于202,求这两个奇数。(请你设出未知数,列出方程,不解方程)
答案
设较小的奇数为x,根据题意,得$x^2 + (x + 2)^2 = 202$
解析
【分析】
解决本题首先要明确连续奇数的特征：相邻两个奇数相差2，我们优先设较小的奇数为未知数，即可用含该未知数的式子表示出较大的连续奇数；再提取题干的核心等量关系：两个连续奇数的平方和等于202，将表示两个奇数的式子代入等量关系，就能列出符合要求的方程。
【解析】
1. 设未知数：设较小的奇数为$x$，由连续奇数相差2的特征可知，较大的奇数为$x+2$。
2. 列方程：根据“两个连续奇数的平方和为202”的等量关系，将两个奇数分别平方后求和等于202，可列方程：$x^2 + (x+2)^2 = 202$。
（题目要求不解方程，无需后续计算）
【答案】
设较小的奇数为$x$,根据题意,得$x^2 + (x + 2)^2 = 202$
【知识点】
1. 列一元二次方程 2. 连续奇数的表示
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题关键是掌握连续奇数的数值特征，准确提取题干的等量关系，就能快速列出正确方程。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确连续奇数的特征：相邻两个奇数相差2，我们优先设较小的奇数为未知数，即可用含该未知数的式子表示出较大的连续奇数；再提取题干的核心等量关系：两个连续奇数的平方和等于202，将表示两个奇数的式子代入等量关系，就能列出符合要求的方程。
【解析】
1. 设未知数：设较小的奇数为$x$，由连续奇数相差2的特征可知，较大的奇数为$x+2$。
2. 列方程：根据“两个连续奇数的平方和为202”的等量关系，将两个奇数分别平方后求和等于202，可列方程：$x^2 + (x+2)^2 = 202$。
（题目要求不解方程，无需后续计算）
【答案】
设较小的奇数为$x$,根据题意,得$x^2 + (x + 2)^2 = 202$
【知识点】
1. 列一元二次方程 2. 连续奇数的表示
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题关键是掌握连续奇数的数值特征，准确提取题干的等量关系，就能快速列出正确方程。
【难度系数】
0.8
5. 关于x的一元二次方程$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$整理成一般形式后为$x^2 - 3x - 1 = 0$，求a,b,c的值。
答案
整理成一般形式为$ax^2 + (b - 2a)x + a - b + c = 0$,$\therefore a = 1$,$b - 2a = -3$,$a - b + c = -1$,$\therefore a = 1$,$b = -1$,$c = -3$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推进：首先要将含$(x-1)$的原方程展开，合并同类项后整理成一元二次方程的一般形式$Ax^2+Bx+C=0$（$A\ne0$）；其次由于整理后的方程与已知的$x^2-3x-1=0$是同一个方程，二者对应项的系数完全相等，据此可列出关于$a,b,c$的等式；最后依次求解等式即可得到$a,b,c$的取值。
【解析】
解：先对原方程$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$展开整理：
1. 展开完全平方：$a(x^2-2x+1)+b(x-1)+c=0$
2. 去括号：$ax^2-2ax+a+bx-b+c=0$
3. 合并同类项得到一般形式：$ax^2 + (b-2a)x + (a-b+c) = 0$
已知该方程整理后为$x^2-3x-1=0$，两个方程对应项系数相等，可列方程组：
$\begin{cases}a=1 \\b-2a=-3 \\a-b+c=-1\end{cases}$
将$a=1$代入$b-2a=-3$，得$b-2×1=-3$，解得$b=-1$；
再将$a=1,b=-1$代入$a-b+c=-1$，得$1-(-1)+c=-1$，解得$c=-3$。
【答案】
$a=1$，$b=-1$，$c=-3$
【知识点】
一元二次方程一般形式；多项式化简；对应系数相等
【点评】
本题核心是利用多项式恒等时对应系数相等的性质求解参数，解题时要注意完全平方展开的正确性，去括号、合并同类项时不要弄错符号，计算后可代入原式验证是否符合题意。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推进：首先要将含$(x-1)$的原方程展开，合并同类项后整理成一元二次方程的一般形式$Ax^2+Bx+C=0$（$A\ne0$）；其次由于整理后的方程与已知的$x^2-3x-1=0$是同一个方程，二者对应项的系数完全相等，据此可列出关于$a,b,c$的等式；最后依次求解等式即可得到$a,b,c$的取值。
【解析】
解：先对原方程$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$展开整理：
1. 展开完全平方：$a(x^2-2x+1)+b(x-1)+c=0$
2. 去括号：$ax^2-2ax+a+bx-b+c=0$
3. 合并同类项得到一般形式：$ax^2 + (b-2a)x + (a-b+c) = 0$
已知该方程整理后为$x^2-3x-1=0$，两个方程对应项系数相等，可列方程组：
$\begin{cases}a=1 \\b-2a=-3 \\a-b+c=-1\end{cases}$
将$a=1$代入$b-2a=-3$，得$b-2×1=-3$，解得$b=-1$；
再将$a=1,b=-1$代入$a-b+c=-1$，得$1-(-1)+c=-1$，解得$c=-3$。
【答案】
$a=1$，$b=-1$，$c=-3$
【知识点】
一元二次方程一般形式；多项式化简；对应系数相等
【点评】
本题核心是利用多项式恒等时对应系数相等的性质求解参数，解题时要注意完全平方展开的正确性，去括号、合并同类项时不要弄错符号，计算后可代入原式验证是否符合题意。
【难度系数】
0.7
我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽。每株脚钱三文足，无钱准与一株椽。”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文。如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为$x$株，则符合题意的方程是（
A.$3(x+1)x=6210$
B.$3(x-1)=6210$
C.$(3x-1)x=6210$
D.$3(x-1)x=6210$
D
）。A.$3(x+1)x=6210$
B.$3(x-1)=6210$
C.$(3x-1)x=6210$
D.$3(x-1)x=6210$
答案
D
解析
【分析】
解题时先梳理题中两层核心逻辑：首先设这批椽的数量为$x$株，第一步先根据运费的相关条件推导单株椽的价格：少拿1株后，剩余椽的数量为$(x-1)$株，每株运费3文，剩余椽的总运费为$3(x-1)$文，由题意可知该运费恰好等于1株椽的价格；第二步结合总购椽款为6210文的已知条件，利用“总价款=椽的总数量×单株椽的价格”的等量关系，代入对应表达式即可列出方程，匹配选项得到答案。
【解析】
解：设这批椽的数量为$x$株。
1. 推导单株椽的价格：
少拿一株椽后，剩余椽的数量为$(x-1)$株，已知每株运费3文，因此剩余椽的总运费为$3(x-1)$文。
根据题意“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可得单株椽的价格为$3(x-1)$文。
2. 列总价款方程：
已知购椽总价款为6210文，根据“总价款=椽的数量×单株椽的价格”，代入数据得：
$x · 3(x-1) = 6210$
整理得：$3(x-1)x = 6210$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用；等量关系分析；实际问题列方程
【点评】
本题结合我国古代数学著作设置情境，考查学生从文字材料中提取有效信息、列方程的能力，解题的核心是准确找到单株椽价格的表达式，再结合总价款的等量关系列方程即可，整体考查方向贴合实际应用，需要学生具备一定的阅读理解能力。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理题中两层核心逻辑：首先设这批椽的数量为$x$株，第一步先根据运费的相关条件推导单株椽的价格：少拿1株后，剩余椽的数量为$(x-1)$株，每株运费3文，剩余椽的总运费为$3(x-1)$文，由题意可知该运费恰好等于1株椽的价格；第二步结合总购椽款为6210文的已知条件，利用“总价款=椽的总数量×单株椽的价格”的等量关系，代入对应表达式即可列出方程，匹配选项得到答案。
【解析】
解：设这批椽的数量为$x$株。
1. 推导单株椽的价格：
少拿一株椽后，剩余椽的数量为$(x-1)$株，已知每株运费3文，因此剩余椽的总运费为$3(x-1)$文。
根据题意“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可得单株椽的价格为$3(x-1)$文。
2. 列总价款方程：
已知购椽总价款为6210文，根据“总价款=椽的数量×单株椽的价格”，代入数据得：
$x · 3(x-1) = 6210$
整理得：$3(x-1)x = 6210$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用；等量关系分析；实际问题列方程
【点评】
本题结合我国古代数学著作设置情境，考查学生从文字材料中提取有效信息、列方程的能力，解题的核心是准确找到单株椽价格的表达式，再结合总价款的等量关系列方程即可，整体考查方向贴合实际应用，需要学生具备一定的阅读理解能力。
【难度系数】
0.7
