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一、选择题
1. 有下列数学表达式：①$-5＜7$；②$3y - 6＞0$；③$a = 6$；④$2x - 3y$；⑤$a≠2$；⑥$7y - 6＞y + 2$.其中不等式的个数是(
A.2
B.3
C.4
D.5
1. 有下列数学表达式：①$-5＜7$；②$3y - 6＞0$；③$a = 6$；④$2x - 3y$；⑤$a≠2$；⑥$7y - 6＞y + 2$.其中不等式的个数是(
C
).A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1. C
解析
【解析】
根据不等式的定义：用不等号（＜, ＞, ≤, ≥, ≠）连接的式子叫做不等式，逐一分析各表达式：
①$-5＜7$，是用“＜”连接的式子，属于不等式；
②$3y - 6＞0$，是用“＞”连接的式子，属于不等式；
③$a = 6$，是等式，不属于不等式；
④$2x - 3y$，是代数式，不属于不等式；
⑤$a≠2$，是用“≠”连接的式子，属于不等式；
⑥$7y - 6＞y + 2$，是用“＞”连接的式子，属于不等式。
综上，不等式有①②⑤⑥，共4个。
【答案】
C
【知识点】
不等式的定义
【点评】
本题主要考查不等式的识别，需熟练掌握不等式的定义，注意区分等式、代数式与不等式的差异。
根据不等式的定义：用不等号（＜, ＞, ≤, ≥, ≠）连接的式子叫做不等式，逐一分析各表达式：
①$-5＜7$，是用“＜”连接的式子，属于不等式；
②$3y - 6＞0$，是用“＞”连接的式子，属于不等式；
③$a = 6$，是等式，不属于不等式；
④$2x - 3y$，是代数式，不属于不等式；
⑤$a≠2$，是用“≠”连接的式子，属于不等式；
⑥$7y - 6＞y + 2$，是用“＞”连接的式子，属于不等式。
综上，不等式有①②⑤⑥，共4个。
【答案】
C
【知识点】
不等式的定义
【点评】
本题主要考查不等式的识别，需熟练掌握不等式的定义，注意区分等式、代数式与不等式的差异。
2. 下列说法中，正确的是(
A.$a$不是正数，可表示为$a＞0$
B.$x$与$2$的和是非正数，可表示为$x + 2＞0$
C.$m$与$4$的差是正数，可表示为$m - 4＞0$
D.$x$不大于$3$，可表示为$x＜3$
C
).A.$a$不是正数，可表示为$a＞0$
B.$x$与$2$的和是非正数，可表示为$x + 2＞0$
C.$m$与$4$的差是正数，可表示为$m - 4＞0$
D.$x$不大于$3$，可表示为$x＜3$
答案
2. C
解析
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：$a$不是正数，说明$a$是负数或0，应表示为$a≤0$，而非$a＞0$，该选项错误。
选项B：$x$与2的和是非正数，非正数即小于等于0，应表示为$x + 2≤0$，而非$x + 2＞0$，该选项错误。
选项C：$m$与4的差是正数，正数即大于0，可表示为$m - 4＞0$，该选项正确。
选项D：$x$不大于3，不大于即小于等于3，应表示为$x≤3$，而非$x＜3$，该选项错误。
综上，正确答案是C。
【答案】
C
【知识点】
用不等式表示数量关系
【点评】
本题考查不等式的意义，需准确理解“不是正数”“非正数”“不大于”等表述对应的不等关系，避免因概念理解偏差导致错误。
逐一分析各选项：
选项A：$a$不是正数，说明$a$是负数或0，应表示为$a≤0$，而非$a＞0$，该选项错误。
选项B：$x$与2的和是非正数，非正数即小于等于0，应表示为$x + 2≤0$，而非$x + 2＞0$，该选项错误。
选项C：$m$与4的差是正数，正数即大于0，可表示为$m - 4＞0$，该选项正确。
选项D：$x$不大于3，不大于即小于等于3，应表示为$x≤3$，而非$x＜3$，该选项错误。
综上，正确答案是C。
【答案】
C
【知识点】
用不等式表示数量关系
【点评】
本题考查不等式的意义，需准确理解“不是正数”“非正数”“不大于”等表述对应的不等关系，避免因概念理解偏差导致错误。
3. 若$x＜-5$，则下列不等式中成立的是(
A.$x^{2}＞-5x$
B.$x^{2}≥ -5x$
C.$x^{2}＜-5x$
D.$x^{2}≤ -5x$
A
).A.$x^{2}＞-5x$
B.$x^{2}≥ -5x$
C.$x^{2}＜-5x$
D.$x^{2}≤ -5x$
答案
3. A
解析
【解析】
已知$x ＜ -5$，即$x$为负数。根据不等式的性质，不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变。
对$x ＜ -5$两边同时乘以$x$（$x ＜ 0$），可得$x^2 ＞ -5x$，故A选项成立。
【答案】
A
【知识点】
不等式的性质
【点评】
本题考查不等式的基本性质，解题关键是注意当不等式两边同时乘以负数时，不等号方向需改变，避免因忽略这一点而出错。
已知$x ＜ -5$，即$x$为负数。根据不等式的性质，不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变。
对$x ＜ -5$两边同时乘以$x$（$x ＜ 0$），可得$x^2 ＞ -5x$，故A选项成立。
【答案】
A
【知识点】
不等式的性质
【点评】
本题考查不等式的基本性质，解题关键是注意当不等式两边同时乘以负数时，不等号方向需改变，避免因忽略这一点而出错。
4. 已知关于$x$的不等式$(1 - a)x＞2$的解集为$x＜\frac{2}{1 - a}$，则$a$的取值范围是(
A.$a＞0$
B.$a＞1$
C.$a＜0$
D.$a＜1$
B
).A.$a＞0$
B.$a＞1$
C.$a＜0$
D.$a＜1$
答案
4. B
解析
【解析】
根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变。
已知不等式$(1 - a)x＞2$的解集为$x＜\frac{2}{1 - a}$，不等号方向改变，说明$1 - a ＜ 0$，
解不等式$1 - a ＜ 0$，移项得$a ＞ 1$。
【答案】
B
【知识点】
不等式的性质
【点评】
本题考查不等式性质的应用，关键是根据不等号方向的变化判断系数的正负，进而求解参数的取值范围。
根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变。
已知不等式$(1 - a)x＞2$的解集为$x＜\frac{2}{1 - a}$，不等号方向改变，说明$1 - a ＜ 0$，
解不等式$1 - a ＜ 0$，移项得$a ＞ 1$。
【答案】
B
【知识点】
不等式的性质
【点评】
本题考查不等式性质的应用，关键是根据不等号方向的变化判断系数的正负，进而求解参数的取值范围。
5. 在方程组$\begin{cases}2x + y = 1 - m,\\x + 2y = 2\end{cases}$中，若未知数$x$，$y$满足$x + y＞0$，则$m$的取值范围在数轴上的表示是( ).
答案
5. B
解析
【解析】
将方程组$\begin{cases}2x + y = 1 - m,\\x + 2y = 2\end{cases}$的两个方程相加，得：
$3x + 3y = 3 - m$
两边同时除以3，得：
$x + y = \frac{3 - m}{3}$
因为$x + y＞0$，所以$\frac{3 - m}{3}＞0$，
解不等式得：$3 - m＞0$，即$m＜3$。
在数轴上表示$m＜3$时，需在3的位置画空心圆圈，折线向左，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组解法，一元一次不等式解法，数轴表示解集
【点评】
本题通过将方程组两式相加快速得到$x+y$的表达式，结合不等式求解参数范围，再依据数轴表示解集的规则判断选项，考查了方程组与不等式的综合应用能力，以及数轴表示解集的掌握程度。
将方程组$\begin{cases}2x + y = 1 - m,\\x + 2y = 2\end{cases}$的两个方程相加，得：
$3x + 3y = 3 - m$
两边同时除以3，得：
$x + y = \frac{3 - m}{3}$
因为$x + y＞0$，所以$\frac{3 - m}{3}＞0$，
解不等式得：$3 - m＞0$，即$m＜3$。
在数轴上表示$m＜3$时，需在3的位置画空心圆圈，折线向左，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组解法，一元一次不等式解法，数轴表示解集
【点评】
本题通过将方程组两式相加快速得到$x+y$的表达式，结合不等式求解参数范围，再依据数轴表示解集的规则判断选项，考查了方程组与不等式的综合应用能力，以及数轴表示解集的掌握程度。
6. 某种商品的进价为$1200$元，标价为$1575$元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于$5\%$，则所打折扣最多是(
A.六折
B.七折
C.八折
D.九折
C
).A.六折
B.七折
C.八折
D.九折
答案
6. C
解析
【解析】
设所打折扣为x折，根据题意列不等式：
$\frac{1575 × \frac{x}{10} - 1200}{1200} ≥ 5\%$
化简得：
$157.5x - 1200 ≥ 60$
$157.5x ≥ 1260$
解得：
$x ≥ 8$
即所打折扣最多是八折。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的应用，利润率问题
【点评】
本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是理解折扣、进价、标价和利润率之间的数量关系，通过列不等式求解最值。
设所打折扣为x折，根据题意列不等式：
$\frac{1575 × \frac{x}{10} - 1200}{1200} ≥ 5\%$
化简得：
$157.5x - 1200 ≥ 60$
$157.5x ≥ 1260$
解得：
$x ≥ 8$
即所打折扣最多是八折。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的应用，利润率问题
【点评】
本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是理解折扣、进价、标价和利润率之间的数量关系，通过列不等式求解最值。
7. 若不等式组$\begin{cases}5 - 3x≥ 0,\\x - m≥ 0\end{cases}$有实数解，则实数$m$的取值范围是( ).
A.$m≤ \frac{5}{3}$
B.$m＜\frac{5}{3}$
C.$m＞\frac{5}{3}$
D.$m≥ \frac{5}{3}$
A.$m≤ \frac{5}{3}$
B.$m＜\frac{5}{3}$
C.$m＞\frac{5}{3}$
D.$m≥ \frac{5}{3}$
答案
7. A
解析
【解析】
1. 解不等式$5 - 3x≥0$：
移项得$-3x≥-5$，
两边同时除以$-3$（不等号方向改变），得$x≤\frac{5}{3}$。
2. 解不等式$x - m≥0$，得$x≥m$。
因为不等式组有实数解，所以两个解集有交集，即$m≤\frac{5}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组解法；不等式组有解条件
【点评】
本题考查一元一次不等式组的求解及有解的判定，关键是根据两个不等式的解集交集情况确定参数$m$的取值范围，注意解不等式时不等号方向的变化。
1. 解不等式$5 - 3x≥0$：
移项得$-3x≥-5$，
两边同时除以$-3$（不等号方向改变），得$x≤\frac{5}{3}$。
2. 解不等式$x - m≥0$，得$x≥m$。
因为不等式组有实数解，所以两个解集有交集，即$m≤\frac{5}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组解法；不等式组有解条件
【点评】
本题考查一元一次不等式组的求解及有解的判定，关键是根据两个不等式的解集交集情况确定参数$m$的取值范围，注意解不等式时不等号方向的变化。
8. 不等式组$\begin{cases}x - 5＜\frac{x - 8}{3},\\4(x + 1)≤ 7x + 10\end{cases}$的所有正整数解的个数是( ).
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
8. A
解析
【解析】
1. 解不等式$x - 5＜\frac{x - 8}{3}$：
两边同乘3得：$3x - 15 ＜ x - 8$，
移项合并同类项得：$2x ＜ 7$，
解得：$x ＜ 3.5$；
2. 解不等式$4(x + 1)≤ 7x + 10$：
去括号得：$4x + 4 ≤ 7x + 10$，
移项合并同类项得：$-3x ≤ 6$，
系数化为1得：$x ≥ -2$；
3. 所以不等式组的解集为$-2 ≤ x ＜ 3.5$，其正整数解为1、2、3，共3个。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的解法；正整数解的确定
【点评】
解不等式时，注意当不等式两边同时除以负数时，不等号方向需改变；确定正整数解时，要结合解集范围准确筛选，避免漏解或多解。
1. 解不等式$x - 5＜\frac{x - 8}{3}$：
两边同乘3得：$3x - 15 ＜ x - 8$，
移项合并同类项得：$2x ＜ 7$，
解得：$x ＜ 3.5$；
2. 解不等式$4(x + 1)≤ 7x + 10$：
去括号得：$4x + 4 ≤ 7x + 10$，
移项合并同类项得：$-3x ≤ 6$，
系数化为1得：$x ≥ -2$；
3. 所以不等式组的解集为$-2 ≤ x ＜ 3.5$，其正整数解为1、2、3，共3个。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的解法；正整数解的确定
【点评】
解不等式时，注意当不等式两边同时除以负数时，不等号方向需改变；确定正整数解时，要结合解集范围准确筛选，避免漏解或多解。
