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8. 关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^{2}-(2m + 1)x + m = 0$，记二次项系数为 $a$，一次项系数为 $b$，常数项为 $c$。
(1) 写出 $a$，$b$，$c$ 的值，并求出 $b^{2}-4ac$ 的值（用含 $m$ 的代数式表示）；
(2) 若 $b^{2}-4ac = 9$，求此方程的根。
(1) 写出 $a$，$b$，$c$ 的值，并求出 $b^{2}-4ac$ 的值（用含 $m$ 的代数式表示）；
(2) 若 $b^{2}-4ac = 9$，求此方程的根。
答案
8. (1) $ a = 2 $，$ b = - ( 2 m + 1 ) $，$ c = m $，$ b ^ { 2 } - 4 a c = ( 2 m - 1 ) ^ { 2 } $ (2) 当 $ m = 2 $ 时，$ x _ { 1 } = 2 $，$ x _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } $；当 $ m = - 1 $ 时，$ x _ { 1 } = - 1 $，$ x _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } $
解析
(1) $a=2$，$b=-(2m+1)$，$c=m$
$b^2-4ac=[-(2m+1)]^2-4×2× m=4m^2+4m+1-8m=4m^2-4m+1=(2m-1)^2$
(2) 由$b^2-4ac=9$，得$(2m-1)^2=9$
$2m-1=\pm3$
当$2m-1=3$时，$m=2$，方程为$2x^2-5x+2=0$，解得$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$
当$2m-1=-3$时，$m=-1$，方程为$2x^2+x-1=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{2}$
$b^2-4ac=[-(2m+1)]^2-4×2× m=4m^2+4m+1-8m=4m^2-4m+1=(2m-1)^2$
(2) 由$b^2-4ac=9$，得$(2m-1)^2=9$
$2m-1=\pm3$
当$2m-1=3$时，$m=2$，方程为$2x^2-5x+2=0$，解得$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$
当$2m-1=-3$时，$m=-1$，方程为$2x^2+x-1=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{2}$
9. 一个直角三角形的面积是 $600\mathrm{cm}^{2}$，两条直角边的长的差是 $10\mathrm{cm}$，求这个直角三角形的两条直角边的长。
答案
9. $ 30 \mathrm { cm } $ 和 $ 40 \mathrm { cm } $
解析
设较短的直角边的长为$x\ \mathrm{cm}$，则较长的直角边的长为$(x + 10)\ \mathrm{cm}$。
根据直角三角形面积公式，得$\frac{1}{2}x(x + 10)=600$。
整理，得$x^{2}+10x - 1200=0$。
解得$x_{1}=30$，$x_{2}=-40$（不合题意，舍去）。
当$x = 30$时，$x + 10=40$。
这个直角三角形的两条直角边的长分别为$30\ \mathrm{cm}$和$40\ \mathrm{cm}$。
根据直角三角形面积公式，得$\frac{1}{2}x(x + 10)=600$。
整理，得$x^{2}+10x - 1200=0$。
解得$x_{1}=30$，$x_{2}=-40$（不合题意，舍去）。
当$x = 30$时，$x + 10=40$。
这个直角三角形的两条直角边的长分别为$30\ \mathrm{cm}$和$40\ \mathrm{cm}$。
