三角形有三条边和三个内角.如图7-17,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,
(1) 根据$∠ C=90°$,斜边$AB=6$,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?
(2) 根据$BC=2.4$,斜边$AB=6$,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?
(1) 根据$∠ C=90°$,斜边$AB=6$,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?
(2) 根据$BC=2.4$,斜边$AB=6$,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?
答案
解：
(1) 不能求出这个直角三角形的其他元素。
因为仅已知$∠ C=90°$和斜边$AB=6$，没有其他边或角的信息，无法确定该直角三角形的形状与大小，存在无数个满足条件的直角三角形。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=2.4$，$AB=6$
① 求$AC$：
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2.4^2}=\sqrt{36-5.76}=\sqrt{30.24}=5.4$
② 求$∠ A$：
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2.4}{6}=0.4$，
$\therefore ∠ A\approx23.6°$
③ 求$∠ B$：
$\because ∠ A+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A\approx90°-23.6°=66.4°$
(1) 不能求出这个直角三角形的其他元素。
因为仅已知$∠ C=90°$和斜边$AB=6$，没有其他边或角的信息，无法确定该直角三角形的形状与大小，存在无数个满足条件的直角三角形。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=2.4$，$AB=6$
① 求$AC$：
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2.4^2}=\sqrt{36-5.76}=\sqrt{30.24}=5.4$
② 求$∠ A$：
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2.4}{6}=0.4$，
$\therefore ∠ A\approx23.6°$
③ 求$∠ B$：
$\because ∠ A+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A\approx90°-23.6°=66.4°$
例1 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$a$、$b$、$c$分别是$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边.
(1) 已知$b=5$,$c=10$,求$a$、$∠ A$、$∠ B$;
(2) 已知$∠ A=45°$,$c=8$,求$a$、$b$、$∠ B$.
解 (1) 根据勾股定理,得$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{10^{2}-5^{2}}=5\sqrt{3}$.
又 $\because \sin B=\dfrac{b}{c}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore ∠ B=30°$.
又 $\because ∠ A+∠ B=90°$,
$\therefore ∠ A=60°$.
(2) $\because \sin A=\dfrac{a}{c}$,
$\therefore a=c· \sin A=8× \sin45°=4\sqrt{2}$.
又 $\because \cos A=\dfrac{b}{c}$,
$\therefore b=c· \cos A=8× \cos45°=4\sqrt{2}$.
又 $\because ∠ A+∠ B=90°$,
$\therefore ∠ B=45°$.
(1) 已知$b=5$,$c=10$,求$a$、$∠ A$、$∠ B$;
(2) 已知$∠ A=45°$,$c=8$,求$a$、$b$、$∠ B$.
解 (1) 根据勾股定理,得$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{10^{2}-5^{2}}=5\sqrt{3}$.
又 $\because \sin B=\dfrac{b}{c}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore ∠ B=30°$.
又 $\because ∠ A+∠ B=90°$,
$\therefore ∠ A=60°$.
(2) $\because \sin A=\dfrac{a}{c}$,
$\therefore a=c· \sin A=8× \sin45°=4\sqrt{2}$.
又 $\because \cos A=\dfrac{b}{c}$,
$\therefore b=c· \cos A=8× \cos45°=4\sqrt{2}$.
又 $\because ∠ A+∠ B=90°$,
$\therefore ∠ B=45°$.
答案
解：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据勾股定理，得$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{10^{2}-5^{2}}=5\sqrt{3}$。
$\because \sin B=\dfrac{b}{c}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore ∠ B=30°$。
$\because ∠ A+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ A=90°-30°=60°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \sin A=\dfrac{a}{c}$，
$\therefore a=c·\sin A=8×\sin45°=8×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$。
$\because \cos A=\dfrac{b}{c}$，
$\therefore b=c·\cos A=8×\cos45°=8×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$。
$\because ∠ A+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ B=90°-45°=45°$。
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据勾股定理，得$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{10^{2}-5^{2}}=5\sqrt{3}$。
$\because \sin B=\dfrac{b}{c}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore ∠ B=30°$。
$\because ∠ A+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ A=90°-30°=60°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \sin A=\dfrac{a}{c}$，
$\therefore a=c·\sin A=8×\sin45°=8×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$。
$\because \cos A=\dfrac{b}{c}$，
$\therefore b=c·\cos A=8×\cos45°=8×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$。
$\because ∠ A+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ B=90°-45°=45°$。
例2 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$c=7.34$,$a=5.28$,解这个直角三角形.
解 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,
$\because ∠ C=90°$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$,得$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{7.34^{2}-5.28^{2}}\approx5.10$.
$\because \sin A=\dfrac{a}{c}=\dfrac{5.28}{7.34}\approx0.7193$,
$\therefore$ 由计算器计算,得$∠ A\approx46°$.
$\therefore ∠ B=90°-∠ A\approx90°-46°=44°$.
解 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,
$\because ∠ C=90°$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$,得$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{7.34^{2}-5.28^{2}}\approx5.10$.
$\because \sin A=\dfrac{a}{c}=\dfrac{5.28}{7.34}\approx0.7193$,
$\therefore$ 由计算器计算,得$∠ A\approx46°$.
$\therefore ∠ B=90°-∠ A\approx90°-46°=44°$.
答案
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$c=7.34$，$a=5.28$
$\because a^2+b^2=c^2$
$\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{7.34^2-5.28^2}\approx5.10$
$\because \sin A=\dfrac{a}{c}=\dfrac{5.28}{7.34}\approx0.7193$
$\therefore$ 由计算器计算得$∠ A\approx46°$
$\therefore ∠ B=90°-∠ A\approx90°-46°=44°$
$\because a^2+b^2=c^2$
$\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{7.34^2-5.28^2}\approx5.10$
$\because \sin A=\dfrac{a}{c}=\dfrac{5.28}{7.34}\approx0.7193$
$\therefore$ 由计算器计算得$∠ A\approx46°$
$\therefore ∠ B=90°-∠ A\approx90°-46°=44°$
