6. （2025 东营）先化简，再求值：$\frac{a^{2} - 6a + 9}{a - 2} ÷ (a + 2 + \frac{5}{2 - a})$，其中$a$是使不等式$\frac{a - 1}{2} ≤ 1$成立的正整数。

原式$=\frac{a - 3}{a + 3}$
$\because a$是使不等式$\frac{a - 1}{2} ≤ 1$成立的正整数，
$\therefore a ≤ 3$且$a$为正整数，$\therefore a = 1$，$2$，$3$．
又由题可知$a ≠ 2$，$3$，$- 3$，
$\therefore a = 1$．
当$a = 1$时，原式$= - \frac{1}{2}$．

7. 先化简，再求值：$\frac{a + 2}{a^{2} - 3a} ÷ \frac{a^{2} - 4}{a} - \frac{1}{2 - a}$，其中$a$，$2$，$3$可以为三角形的三边长，且$a$为整数。

解：原式$=\frac{a + 2}{a(a - 3)} · \frac{a}{(a + 2)(a - 2)} - \frac{1}{2 - a}$
$=\frac{1}{(a - 3)(a - 2)} + \frac{a - 3}{(a - 3)(a - 2)}$
$=\frac{1 + a - 3}{(a - 3)(a - 2)}$
$=\frac{1}{a - 3}$．
由式子有意义的条件知，$a ≠ - 2$，$0$，$2$，$3$．
$\because a$，$2$，$3$可以为三角形的三边长，
$\therefore 3 - 2 ＜ a ＜ 3 + 2$，即$1 ＜ a ＜ 5$．
又$\because a$为整数，$\therefore a = 4$．
当$a = 4$时，原式$= 1$．

8. 先化简，再求值：$(\frac{3x}{x - y} + \frac{x}{x + y}) ÷ \frac{x}{x^{2} - y^{2}}$，其中$x$，$y$满足$2x + y - 3 = 0$。

原式$=2(2x + y)$
$\because 2x + y - 3 = 0$，$\therefore 2x + y = 3$．
$\therefore$原式$= 6$

9. （2024 日照）先化简，再求值：$(\frac{x + 3}{x^{2} - x} - \frac{x}{x^{2} - 2x + 1}) ÷ \frac{2x - 3}{x}$，其中$x$满足$x^{2} - 2x - 1 = 0$。

原式$=\frac{1}{x ^ { 2 } - 2x + 1}$
当$x ^ { 2 } - 2x - 1 = 0$时，$x ^ { 2 } - 2x = 1$，
$\therefore$原式$=\frac{1}{2}$