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10.在一根长为30米的绳子上，从起点到终点依次标出A,B,C,D四个点，它们将绳子分成长为5米、12米和13米的三段.甲握住绳子的两个端点(A点和D点交于一处)，乙和丙分别握住B点和C点，将绳子拉直成一个几何图形，这个图形是（
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
A
）A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
答案
10.A
解析
【分析】
解题时首先要明确拉直绳子后得到的是三角形，其三边长就是绳子被分成的三段长度：5米、12米、13米。判断三角形的形状可使用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，接下来只需验证三边的平方关系即可得出答案。
【解析】
三人拉直绳子后，得到的三角形三边长分别为5米、12米、13米。
计算两条短边的平方和：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
计算最长边的平方：$13^2 = 169$
由此可得$5^2 + 12^2 = 13^2$，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形的分类
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的核心是准确提取三角形的三边长，再利用勾股定理逆定理判断形状，是对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确拉直绳子后得到的是三角形，其三边长就是绳子被分成的三段长度：5米、12米、13米。判断三角形的形状可使用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，接下来只需验证三边的平方关系即可得出答案。
【解析】
三人拉直绳子后，得到的三角形三边长分别为5米、12米、13米。
计算两条短边的平方和：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
计算最长边的平方：$13^2 = 169$
由此可得$5^2 + 12^2 = 13^2$，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形的分类
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的核心是准确提取三角形的三边长，再利用勾股定理逆定理判断形状，是对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
11.已知$△ ABC$中，$a,b,c$分别是$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，下列条件不能判断$△ ABC$是直角三角形的是（
A.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
B.$a^2=(b+c)(b-c)$
C.$∠ A=2∠ B=3∠ C$
D.$a:b:c=3:4:5$
C
）A.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
B.$a^2=(b+c)(b-c)$
C.$∠ A=2∠ B=3∠ C$
D.$a:b:c=3:4:5$
答案
11.C
解析
【分析】
判断△ABC是否为直角三角形有两种核心思路：①角度判定：利用三角形内角和为180°，计算最大角的度数，若最大角为90°则为直角三角形；②边长判定：利用勾股定理逆定理，若两条较短边的平方和等于最长边的平方，则为直角三角形。我们只需逐个验证四个选项，找出不符合直角三角形判定的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形内角和为180°得：
$x + 2x + 3x = 180°$，解得$x=30°$，最大角$∠C=3x=90°$，能判定是直角三角形，不符合题意。
选项B：对$a^2=(b+c)(b-c)$展开整理得：
$a^2 = b^2 - c^2$，移项得$a^2 + c^2 = b^2$，满足勾股定理逆定理，能判定是直角三角形，不符合题意。
选项C：设$∠A=x$，则$∠B=\frac{x}{2}$，$∠C=\frac{x}{3}$，由内角和为180°得：
$x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 180°$，通分计算得$\frac{11x}{6}=180°$，解得$x=\frac{1080°}{11}\approx98.2°$，最大角不是90°，不能判定是直角三角形，符合题意。
选项D：设$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$（$k＞0$），计算得：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 = (5k)^2$，满足勾股定理逆定理，能判定是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形的两种判定方法，需要学生熟练掌握内角和公式的计算和勾股定理逆定理的应用，解题时注意角度换算的准确性，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
判断△ABC是否为直角三角形有两种核心思路：①角度判定：利用三角形内角和为180°，计算最大角的度数，若最大角为90°则为直角三角形；②边长判定：利用勾股定理逆定理，若两条较短边的平方和等于最长边的平方，则为直角三角形。我们只需逐个验证四个选项，找出不符合直角三角形判定的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形内角和为180°得：
$x + 2x + 3x = 180°$，解得$x=30°$，最大角$∠C=3x=90°$，能判定是直角三角形，不符合题意。
选项B：对$a^2=(b+c)(b-c)$展开整理得：
$a^2 = b^2 - c^2$，移项得$a^2 + c^2 = b^2$，满足勾股定理逆定理，能判定是直角三角形，不符合题意。
选项C：设$∠A=x$，则$∠B=\frac{x}{2}$，$∠C=\frac{x}{3}$，由内角和为180°得：
$x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 180°$，通分计算得$\frac{11x}{6}=180°$，解得$x=\frac{1080°}{11}\approx98.2°$，最大角不是90°，不能判定是直角三角形，符合题意。
选项D：设$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$（$k＞0$），计算得：
$(3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 = (5k)^2$，满足勾股定理逆定理，能判定是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形的两种判定方法，需要学生熟练掌握内角和公式的计算和勾股定理逆定理的应用，解题时注意角度换算的准确性，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
12.命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题为
和为0的两个数互为相反数
。答案
12.和为0的两个数互为相反数
解析
【分析】
要写出一个命题的逆命题，首先需要明确原命题的结构，即拆分出原命题的题设（条件）和结论。原命题“互为相反数的两个数的和为0”中，题设是“两个数互为相反数”，结论是“这两个数的和为0”。逆命题的改写规则是将原命题的题设和结论互换位置，最后把互换后的内容整理成通顺合理的语句即可。
【解析】
首先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，便于拆分结构：
如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0。
其中题设为：两个数互为相反数；结论为：这两个数的和为0。
根据逆命题的定义，将题设和结论互换，得到：
如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数。
简化表述后即为：和为0的两个数互为相反数。
【答案】
和为0的两个数互为相反数
【知识点】
1.逆命题的改写
2.命题的构成
3.相反数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握逆命题的改写方法，只要能准确拆分原命题的条件和结论，互换后通顺表述即可得分，注意改写后不要出现逻辑或语法错误。
【难度系数】
0.9
要写出一个命题的逆命题，首先需要明确原命题的结构，即拆分出原命题的题设（条件）和结论。原命题“互为相反数的两个数的和为0”中，题设是“两个数互为相反数”，结论是“这两个数的和为0”。逆命题的改写规则是将原命题的题设和结论互换位置，最后把互换后的内容整理成通顺合理的语句即可。
【解析】
首先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，便于拆分结构：
如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0。
其中题设为：两个数互为相反数；结论为：这两个数的和为0。
根据逆命题的定义，将题设和结论互换，得到：
如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数。
简化表述后即为：和为0的两个数互为相反数。
【答案】
和为0的两个数互为相反数
【知识点】
1.逆命题的改写
2.命题的构成
3.相反数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握逆命题的改写方法，只要能准确拆分原命题的条件和结论，互换后通顺表述即可得分，注意改写后不要出现逻辑或语法错误。
【难度系数】
0.9
13.一架25分米长的梯子，斜放在一面竖直的墙上，这时梯子的底端距离墙脚7分米.若梯子的顶端沿墙下滑4分米，求梯子的底端向外滑动的距离.
答案
13.8分米
解析
【分析】
本题属于直角三角形的实际应用问题，核心是梯子、墙面、地面始终构成直角三角形，且梯子长度作为斜边固定不变。解题时可分四步思考：①先利用勾股定理求出梯子下滑前顶端到地面的高度；②计算顶端下滑4分米后新的高度；③再次利用勾股定理求出此时梯子底端到墙脚的距离；④用新的底端距离减去原来的距离，即可得到向外滑动的距离。
【解析】
解：①计算梯子下滑前顶端距离地面的高度：
由勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），设初始顶端高度为$h_1$，则：
$h_1^2 + 7^2 = 25^2$
$h_1^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$
因为高度为正数，所以$h_1 = \sqrt{576} = 24$（分米）
②顶端下滑4分米后，新的高度$h_2 = 24 - 4 = 20$（分米）
③设此时梯子底端距离墙脚的长度为$x$，再次运用勾股定理：
$x^2 + 20^2 = 25^2$
$x^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225$
距离为正数，所以$x = \sqrt{225} = 15$（分米）
④梯子底端向外滑动的距离为：$15 - 7 = 8$（分米）
【答案】
8分米
【知识点】
勾股定理、直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理的典型实际应用题，解题的关键是抓住梯子长度始终不变这一隐含条件，两次运用勾股定理计算即可，计算过程中要注意开平方时取符合实际意义的正数值。
【难度系数】
0.8
本题属于直角三角形的实际应用问题，核心是梯子、墙面、地面始终构成直角三角形，且梯子长度作为斜边固定不变。解题时可分四步思考：①先利用勾股定理求出梯子下滑前顶端到地面的高度；②计算顶端下滑4分米后新的高度；③再次利用勾股定理求出此时梯子底端到墙脚的距离；④用新的底端距离减去原来的距离，即可得到向外滑动的距离。
【解析】
解：①计算梯子下滑前顶端距离地面的高度：
由勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），设初始顶端高度为$h_1$，则：
$h_1^2 + 7^2 = 25^2$
$h_1^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$
因为高度为正数，所以$h_1 = \sqrt{576} = 24$（分米）
②顶端下滑4分米后，新的高度$h_2 = 24 - 4 = 20$（分米）
③设此时梯子底端距离墙脚的长度为$x$，再次运用勾股定理：
$x^2 + 20^2 = 25^2$
$x^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225$
距离为正数，所以$x = \sqrt{225} = 15$（分米）
④梯子底端向外滑动的距离为：$15 - 7 = 8$（分米）
【答案】
8分米
【知识点】
勾股定理、直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理的典型实际应用题，解题的关键是抓住梯子长度始终不变这一隐含条件，两次运用勾股定理计算即可，计算过程中要注意开平方时取符合实际意义的正数值。
【难度系数】
0.8
14. 如图5所示，在$△ ABC$中，$AB:BC:CA=3:4:5$，且周长为36 cm. 点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1 cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2 cm的速度移动. 如果点P，Q同时出发，3秒时，$△ BPQ$的面积为多少？
答案
14.18 cm²
解析
【分析】
首先我们可以根据△ABC三边的比例关系和周长，先求出三边的具体长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形且∠B为直角；接下来根据点P、Q的移动速度和移动时间，分别计算出线段BP和BQ的长度，最后利用直角三角形的面积公式即可求出△BPQ的面积。
【解析】
解：设AB的长为$3x\ \mathrm{cm}$，则BC长为$4x\ \mathrm{cm}$，CA长为$5x\ \mathrm{cm}$。
由三角形周长为36cm，可得：
$3x+4x+5x=36$
解得$x=3$
因此$AB=3×3=9\ \mathrm{cm}$，$BC=4×3=12\ \mathrm{cm}$，$AC=5×3=15\ \mathrm{cm}$。
又因为$AB^2+BC^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2=AC^2$，根据勾股定理逆定理可知△ABC是直角三角形，且$∠ B=90°$。
点P、Q同时出发3秒后：
AP的长度为$1×3=3\ \mathrm{cm}$，因此$BP=AB-AP=9-3=6\ \mathrm{cm}$
BQ的长度为$2×3=6\ \mathrm{cm}$
所以△BPQ的面积为：
$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}×BP×BQ=\frac{1}{2}×6×6=18\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
18 cm²
【知识点】
按比例求边长、勾股定理逆定理、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将比例计算、直角三角形判定和简单动点问题结合，解题的核心是先确定∠B为直角，再准确计算动点移动后的线段长度，计算量较小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
首先我们可以根据△ABC三边的比例关系和周长，先求出三边的具体长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形且∠B为直角；接下来根据点P、Q的移动速度和移动时间，分别计算出线段BP和BQ的长度，最后利用直角三角形的面积公式即可求出△BPQ的面积。
【解析】
解：设AB的长为$3x\ \mathrm{cm}$，则BC长为$4x\ \mathrm{cm}$，CA长为$5x\ \mathrm{cm}$。
由三角形周长为36cm，可得：
$3x+4x+5x=36$
解得$x=3$
因此$AB=3×3=9\ \mathrm{cm}$，$BC=4×3=12\ \mathrm{cm}$，$AC=5×3=15\ \mathrm{cm}$。
又因为$AB^2+BC^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2=AC^2$，根据勾股定理逆定理可知△ABC是直角三角形，且$∠ B=90°$。
点P、Q同时出发3秒后：
AP的长度为$1×3=3\ \mathrm{cm}$，因此$BP=AB-AP=9-3=6\ \mathrm{cm}$
BQ的长度为$2×3=6\ \mathrm{cm}$
所以△BPQ的面积为：
$S_{△ BPQ}=\frac{1}{2}×BP×BQ=\frac{1}{2}×6×6=18\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
18 cm²
【知识点】
按比例求边长、勾股定理逆定理、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将比例计算、直角三角形判定和简单动点问题结合，解题的核心是先确定∠B为直角，再准确计算动点移动后的线段长度，计算量较小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
15.如图6，某住宅社区在相邻两楼之间修建了一条上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的通道.已知$AD=2.3\ \mathrm{m}$，$CD=2\ \mathrm{m}$，现有一辆货车装满家具后，高$2.5\ \mathrm{m}$，宽$1.6\ \mathrm{m}$.请问这辆送家具的货车能否通过这条通道？说出你的理由.
答案
15.能,理由略.
解析
【分析】
要判断货车能否通过通道，核心是对比货车高度与货车对应宽度位置的通道最大高度。首先明确通道结构：下方长方形高2.3m，上方半圆直径为2m，即半径为1m。货车宽1.6m，当货车沿通道中线行驶时，只需计算距离中线0.8m处的通道总高度，若该高度大于等于货车高度2.5m即可通过。
【解析】
解：由题意可知，上方半圆的直径AB=CD=2m，因此半圆半径$r=1\ \mathrm{m}$。
货车宽度为1.6m，对应水平方向距离圆心O的距离为：$1.6÷2=0.8\ \mathrm{m}$。
设该位置处半圆部分高出AB的竖直高度为h，根据勾股定理可得：
$h^2 + 0.8^2 = 1^2$
计算得：$h^2=1-0.64=0.36$，解得$h=0.6\ \mathrm{m}$（高度为正，舍去负解）。
因此该位置处通道的总高度为：$2.3 + 0.6 = 2.9\ \mathrm{m}$。
因为$2.9\ \mathrm{m}＞2.5\ \mathrm{m}$，所以货车可以通过通道。
【答案】
能
【知识点】
勾股定理的应用，圆的基本性质
【点评】
本题是几何知识在生活实际中的应用，解题的关键是将实际通行问题转化为直角三角形的边长计算问题，培养将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
要判断货车能否通过通道，核心是对比货车高度与货车对应宽度位置的通道最大高度。首先明确通道结构：下方长方形高2.3m，上方半圆直径为2m，即半径为1m。货车宽1.6m，当货车沿通道中线行驶时，只需计算距离中线0.8m处的通道总高度，若该高度大于等于货车高度2.5m即可通过。
【解析】
解：由题意可知，上方半圆的直径AB=CD=2m，因此半圆半径$r=1\ \mathrm{m}$。
货车宽度为1.6m，对应水平方向距离圆心O的距离为：$1.6÷2=0.8\ \mathrm{m}$。
设该位置处半圆部分高出AB的竖直高度为h，根据勾股定理可得：
$h^2 + 0.8^2 = 1^2$
计算得：$h^2=1-0.64=0.36$，解得$h=0.6\ \mathrm{m}$（高度为正，舍去负解）。
因此该位置处通道的总高度为：$2.3 + 0.6 = 2.9\ \mathrm{m}$。
因为$2.9\ \mathrm{m}＞2.5\ \mathrm{m}$，所以货车可以通过通道。
【答案】
能
【知识点】
勾股定理的应用，圆的基本性质
【点评】
本题是几何知识在生活实际中的应用，解题的关键是将实际通行问题转化为直角三角形的边长计算问题，培养将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
