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【典例1】如图，过$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交$y=-\frac{1}{x}$的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为$S_1,S_2,S_3,S_4$，若$S_2+S_3+S_4=\frac{5}{2}$，则k的值为（
A.4
B.3
C.2
D.1
C
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
解:$S_2=S_4=1,\therefore S_3=\frac{1}{2}$,
又$\because \frac{S_2}{S_3}=\frac{S_1}{S_4}⇒ S_1=2,\therefore k=2.$
又$\because \frac{S_2}{S_3}=\frac{S_1}{S_4}⇒ S_1=2,\therefore k=2.$
变式.如图,在反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上有$P_1,P_2,P_3,\dots P_{2024}$等点,它们的横坐标依次为$1,2,3,\dots,2024$,分别过这些点作$x$轴与$y$轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为$S_1$,$S_2,S_3,\dots,S_{2023}$,则$S_1+S_2+S_3+\dots+S_{2023}=$
$\frac{2023}{253}$
.答案
解:将除第1个矩形外所有阴影面积向左平移,
$S_{阴}=8-\frac{8}{2024}=\frac{2023}{253}.$
$S_{阴}=8-\frac{8}{2024}=\frac{2023}{253}.$
【典例2】如图1，△OA₁B₁，△A₁A₂B₂，△A₂A₃B₃，…是分别以A₁，A₂，A₃，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C₁(x₁，y₁)，C₂(x₂，y₂)，C₃(x₃，y₃)，…均在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，则$y_1+y_2+…+y_{10}$的值为
$2\sqrt{10}$
.答案
解:$y_1=x_1=2,y_2=2\sqrt{2}-2,y_3=2\sqrt{3}-2\sqrt{2},\dots,$
$y_{10}=2\sqrt{10}-2×3,\therefore y_1+y_2+\dots+y_{10}=2\sqrt{10}.$
$y_{10}=2\sqrt{10}-2×3,\therefore y_1+y_2+\dots+y_{10}=2\sqrt{10}.$
变式.如图2,点$A_1,A_2,A_3,···$在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上,点$B_1,B_2,B_3,···,B_n$在$y$轴上,且$∠ B_1OA_1=∠ B_2B_1A_2=∠ B_3B_2A_3=···$,直线$y=x$与双曲线$y=\frac{1}{x}$交于点$A_1$,$B_1A_1⊥ OA_1$,$B_2A_2⊥ B_1A_2$,$B_3A_3⊥ B_2A_3$,$···$,则$B_n(n$为正整数$)$的坐标是
$(0,2\sqrt{n})$
.答案
解:$A_1(1,1),B_1(0,2);A_2(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1),B_2(0,2\sqrt{2});B_n(0,2\sqrt{n}).$
