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10.如图3，△ABC的边BC的长是8，BC边上的高AD'的长是4，点D在BC上运动.设BD长为x，请写出△ACD的面积y与x之间的函数关系式
$y=-2x+16$
$0＜x＜8$
. 答案
10. $y=-2x+16(0＜x＜8)$
解析
【分析】
解题时首先明确要求△ACD的面积，需先确定它的底和对应高：△ACD的底为CD，高与△ABC的BC边上的高相同，都是AD'=4。先根据BC的长度和BD的长度x表示出CD的长度，再代入三角形面积公式计算，最后结合点D的运动范围确定自变量x的取值范围即可。
【解析】
已知BC=8，BD=x，因此CD的长度为：CD=BC-BD=8-x。
∵AD'是BC边上的高，长度为4，
∴AD'也是△ACD的CD边上的高。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得△ACD的面积：
$y=\frac{1}{2}×CD×AD'=\frac{1}{2}×(8-x)×4$
化简得：$y=2×(8-x)=-2x+16$
∵点D在BC上运动，不与B、C重合，
∴x的取值范围是$0＜x＜8$。
综上，函数关系式为$y=-2x+16(0＜x＜8)$。
【答案】
$y=-2x+16(0＜x＜8)$
【知识点】
三角形面积公式；列函数关系式；自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确找到所求三角形对应的底和高，代入公式计算时注意运算准确性，同时不要遗漏自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确要求△ACD的面积，需先确定它的底和对应高：△ACD的底为CD，高与△ABC的BC边上的高相同，都是AD'=4。先根据BC的长度和BD的长度x表示出CD的长度，再代入三角形面积公式计算，最后结合点D的运动范围确定自变量x的取值范围即可。
【解析】
已知BC=8，BD=x，因此CD的长度为：CD=BC-BD=8-x。
∵AD'是BC边上的高，长度为4，
∴AD'也是△ACD的CD边上的高。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得△ACD的面积：
$y=\frac{1}{2}×CD×AD'=\frac{1}{2}×(8-x)×4$
化简得：$y=2×(8-x)=-2x+16$
∵点D在BC上运动，不与B、C重合，
∴x的取值范围是$0＜x＜8$。
综上，函数关系式为$y=-2x+16(0＜x＜8)$。
【答案】
$y=-2x+16(0＜x＜8)$
【知识点】
三角形面积公式；列函数关系式；自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确找到所求三角形对应的底和高，代入公式计算时注意运算准确性，同时不要遗漏自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.8
11.在平面直角坐标系中,对于平面内任一点$(a,b)$,若规定以下三种变换:
①$△(a,b)=(-a,b)$;
②$◯(a,b)=(-a,-b)$;
③$\Omega(a,b)=(a,-b)$.
按照以上变换,$△[◯(1,2)]=(1,-2)$,则
$◯[\Omega(3,4)]=$
①$△(a,b)=(-a,b)$;
②$◯(a,b)=(-a,-b)$;
③$\Omega(a,b)=(a,-b)$.
按照以上变换,$△[◯(1,2)]=(1,-2)$,则
$◯[\Omega(3,4)]=$
$(-3,4)$
.答案
11.$(-3,4)$
解析
【分析】
这是一道新定义运算结合坐标变换的题目，解题时需遵循嵌套运算从内到外的计算顺序。首先明确题目给出的三种变换对应的坐标变化规则，先计算内层的$\Omega(3,4)$得到对应坐标，再将所得坐标代入$◯$的变换规则中计算，即可得到最终结果。
【解析】
第一步：计算内层变换$\Omega(3,4)$
根据变换③的规则$\Omega(a,b)=(a,-b)$，将$a=3$，$b=4$代入可得：
$\Omega(3,4)=(3,-4)$
第二步：计算外层变换$◯(3,-4)$
根据变换②的规则$◯(a,b)=(-a,-b)$，将$a=3$，$b=-4$代入可得：
$◯(3,-4)=(-3,-(-4))=(-3,4)$
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
新定义运算，点的坐标变换
【点评】
本题属于基础类题目，解题核心是明确嵌套运算从内到外的顺序，准确对应每种变换的坐标变化规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算结合坐标变换的题目，解题时需遵循嵌套运算从内到外的计算顺序。首先明确题目给出的三种变换对应的坐标变化规则，先计算内层的$\Omega(3,4)$得到对应坐标，再将所得坐标代入$◯$的变换规则中计算，即可得到最终结果。
【解析】
第一步：计算内层变换$\Omega(3,4)$
根据变换③的规则$\Omega(a,b)=(a,-b)$，将$a=3$，$b=4$代入可得：
$\Omega(3,4)=(3,-4)$
第二步：计算外层变换$◯(3,-4)$
根据变换②的规则$◯(a,b)=(-a,-b)$，将$a=3$，$b=-4$代入可得：
$◯(3,-4)=(-3,-(-4))=(-3,4)$
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
新定义运算，点的坐标变换
【点评】
本题属于基础类题目，解题核心是明确嵌套运算从内到外的顺序，准确对应每种变换的坐标变化规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
12. 已知n边形的内角和$β=(n-2)×180°$.
(1)甲同学说，$β$能取$360°$；而乙同学说，$β$也能取$630°$. 甲、乙的说法对吗？若对，求出边数$n$. 若不对，说明理由；
(2)若$n$边形变为$(n+x)$边形，内角和增加了$360°$，用列方程的方法确定$x$的值.
(1)甲同学说，$β$能取$360°$；而乙同学说，$β$也能取$630°$. 甲、乙的说法对吗？若对，求出边数$n$. 若不对，说明理由；
(2)若$n$边形变为$(n+x)$边形，内角和增加了$360°$，用列方程的方法确定$x$的值.
答案
12. (1)甲的说法对,$n=4$;乙的说法不对,因为$β$应为$180°$的整数倍.
(2)$x=2$
(2)$x=2$
解析
【分析】
（1）解决第一问的核心是明确n边形的边数n为不小于3的正整数，因此内角和β必然是180°的正整数倍。判断两人说法是否正确时，先验证给出的角度是否为180°的整数倍，若符合则代入内角和公式求解n，判断n是否为正整数即可。（2）第二问根据“内角和增加了360°”建立等量关系：(n+x)边形的内角和 - 原n边形的内角和=360°，代入内角和公式列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 先判断甲的说法：
当β=360°时，代入内角和公式得：
$(n-2)×180°=360°$
解得$n-2=2$，即$n=4$，n是正整数，因此甲的说法正确，边数n为4。
再判断乙的说法：
当β=630°时，代入内角和公式得：
$(n-2)×180°=630°$
解得$n-2=3.5$，即$n=5.5$，边数n必须为不小于3的正整数，不符合要求，因此乙的说法不对，本质原因是β必须是180°的整数倍。
(2) 根据题意列方程：
$[(n+x)-2]×180° - (n-2)×180°=360°$
左边化简得：$(n+x-2 -n +2)×180°=180°x$
因此方程变为$180°x=360°$
解得$x=2$
【答案】
(1)甲的说法对，$n=4$；乙的说法不对，因为$β$应为$180°$的整数倍。
(2)$x=2$
【知识点】
多边形内角和公式；一元一次方程应用；整除判定
【点评】
本题考查多边形内角和公式的基础应用，解题的关键是抓住多边形边数为正整数、内角和为180°整数倍的特点，第二问通过找等量关系列方程即可求解，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问的核心是明确n边形的边数n为不小于3的正整数，因此内角和β必然是180°的正整数倍。判断两人说法是否正确时，先验证给出的角度是否为180°的整数倍，若符合则代入内角和公式求解n，判断n是否为正整数即可。（2）第二问根据“内角和增加了360°”建立等量关系：(n+x)边形的内角和 - 原n边形的内角和=360°，代入内角和公式列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 先判断甲的说法：
当β=360°时，代入内角和公式得：
$(n-2)×180°=360°$
解得$n-2=2$，即$n=4$，n是正整数，因此甲的说法正确，边数n为4。
再判断乙的说法：
当β=630°时，代入内角和公式得：
$(n-2)×180°=630°$
解得$n-2=3.5$，即$n=5.5$，边数n必须为不小于3的正整数，不符合要求，因此乙的说法不对，本质原因是β必须是180°的整数倍。
(2) 根据题意列方程：
$[(n+x)-2]×180° - (n-2)×180°=360°$
左边化简得：$(n+x-2 -n +2)×180°=180°x$
因此方程变为$180°x=360°$
解得$x=2$
【答案】
(1)甲的说法对，$n=4$；乙的说法不对，因为$β$应为$180°$的整数倍。
(2)$x=2$
【知识点】
多边形内角和公式；一元一次方程应用；整除判定
【点评】
本题考查多边形内角和公式的基础应用，解题的关键是抓住多边形边数为正整数、内角和为180°整数倍的特点，第二问通过找等量关系列方程即可求解，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
13. 如图4,在$△ ABC$中,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使$CF=\frac{1}{2}BC$,连接CD和EF.
(1)求证:四边形DEFC是平行四边形;
(2)如图5,当$△ ABC$是等边三角形且边长是8时,求四边形DEFC的面积.
(1)求证:四边形DEFC是平行四边形;
(2)如图5,当$△ ABC$是等边三角形且边长是8时,求四边形DEFC的面积.
答案
13. (1)略
(2)$8\sqrt{3}$
(2)$8\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 要证明四边形DEFC是平行四边形，可通过证明一组对边平行且相等实现。首先利用三角形中位线定理，由D、E是AB、AC中点可得DE是△ABC的中位线，得到DE与BC的位置和数量关系，再结合已知CF=1/2BC，即可推出DE和CF平行且相等，完成证明。
(2) 求平行四边形DEFC的面积，需先确定其底和高。首先根据等边三角形的性质和勾股定理求出△ABC的高，再结合中位线的性质得到平行四边形的底长和对应高的长度，最后用平行四边形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，且$DE=\frac{1}{2}BC$，
又
∵$CF=\frac{1}{2}BC$，
∴DE=CF，且DE//CF，
∴四边形DEFC是平行四边形。
(2) 解：过点A作AH⊥BC于点H，
∵△ABC是等边三角形，边长为8，
∴$BH=\frac{1}{2}BC=4$，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$，
∵DE是△ABC的中位线，
∴$CF=\frac{1}{2}BC=4$，且DE与BC之间的距离为$\frac{1}{2}AH=2\sqrt{3}$，即平行四边形DEFC的高为$2\sqrt{3}$，
∴$S_{四边形DEFC}=CF×高=4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $8\sqrt{3}$
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将三角形中位线、平行四边形判定和等边三角形性质结合考查，解题的关键是通过中位线得到线段的平行关系和数量关系，再结合等边三角形的高求解面积。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形DEFC是平行四边形，可通过证明一组对边平行且相等实现。首先利用三角形中位线定理，由D、E是AB、AC中点可得DE是△ABC的中位线，得到DE与BC的位置和数量关系，再结合已知CF=1/2BC，即可推出DE和CF平行且相等，完成证明。
(2) 求平行四边形DEFC的面积，需先确定其底和高。首先根据等边三角形的性质和勾股定理求出△ABC的高，再结合中位线的性质得到平行四边形的底长和对应高的长度，最后用平行四边形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，且$DE=\frac{1}{2}BC$，
又
∵$CF=\frac{1}{2}BC$，
∴DE=CF，且DE//CF，
∴四边形DEFC是平行四边形。
(2) 解：过点A作AH⊥BC于点H，
∵△ABC是等边三角形，边长为8，
∴$BH=\frac{1}{2}BC=4$，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$，
∵DE是△ABC的中位线，
∴$CF=\frac{1}{2}BC=4$，且DE与BC之间的距离为$\frac{1}{2}AH=2\sqrt{3}$，即平行四边形DEFC的高为$2\sqrt{3}$，
∴$S_{四边形DEFC}=CF×高=4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $8\sqrt{3}$
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将三角形中位线、平行四边形判定和等边三角形性质结合考查，解题的关键是通过中位线得到线段的平行关系和数量关系，再结合等边三角形的高求解面积。
【难度系数】
0.7
14.某旅游商品经销店欲购进甲、乙两种纪念品，用380元可购进7件甲种纪念品和8件乙种纪念品，用380元可购进10件甲种纪念品和6件乙种纪念品.
(1)甲、乙两种纪念品的进价分别为多少？
(2)若甲种纪念品的售价是25元/件，乙种纪念品的售价是37元/件，该经销店准备用不超过900元购进甲、乙两种纪念品共40件，且这两种纪念品全部售出的总利润不低于216元，问：应该怎样进货，才能使总利润最大？总利润最大是多少？
(1)甲、乙两种纪念品的进价分别为多少？
(2)若甲种纪念品的售价是25元/件，乙种纪念品的售价是37元/件，该经销店准备用不超过900元购进甲、乙两种纪念品共40件，且这两种纪念品全部售出的总利润不低于216元，问：应该怎样进货，才能使总利润最大？总利润最大是多少？
答案
14. (1)甲种纪念品的进价为 20 元/件,乙种纪念品的进价为 30 元/件.
(2)当购进甲种纪念品 30 件,乙种纪念品 10 件时总利润最大,总利润最大是 220 元.
(2)当购进甲种纪念品 30 件,乙种纪念品 10 件时总利润最大,总利润最大是 220 元.
解析
【分析】
(1) 第一问求两种纪念品的进价，属于二元一次方程组应用问题，我们可以设甲、乙的进价分别为未知数，根据题目给出的两个“用380元进货”的等量关系列方程组，求解即可得到进价。
(2) 第二问是方案优化求最大利润问题，首先设购进甲种纪念品的数量为自变量，乙的数量用总数量减去甲的数量表示，再根据“进货总费用不超过900元”“总利润不低于216元”两个不等关系列不等式组，求出自变量的取值范围；然后写出总利润关于自变量的一次函数表达式，根据一次函数的增减性，结合自变量的整数取值，就能找到利润最大的进货方案和最大利润。
【解析】
(1) 设甲种纪念品的进价为$x$元/件，乙种纪念品的进价为$y$元/件，根据题意列方程组：
$\begin{cases}7x + 8y = 380 \\10x + 6y = 380\end{cases}$
将第二个方程两边同乘4，第一个方程两边同乘3，得：
$\begin{cases}21x + 24y = 1140 \\40x + 24y = 1520\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$y$，得$19x=380$，解得$x=20$。
把$x=20$代入$7x+8y=380$，得$7×20 +8y=380$，解得$y=30$。
(2) 设购进甲种纪念品$m$件，则购进乙种纪念品$(40-m)$件，总利润为$W$元。
根据进货总费用不超过900元，得：
$20m + 30(40 - m) ≤ 900$
解得：$m≥30$
根据总利润不低于216元，甲每件利润为$25-20=5$元，乙每件利润为$37-30=7$元，得：
$5m +7(40 - m) ≥ 216$
解得：$m≤32$
综上$m$的取值范围为$30≤ m≤32$，且$m$为正整数，即$m$可取30、31、32。
总利润$W=5m +7(40 - m) = -2m +280$，
$\because$一次函数$W=-2m+280$中$k=-2＜0$，$\therefore W$随$m$的增大而减小，
$\therefore$当$m=30$时，$W$取得最大值，最大值为$W=-2×30 +280=220$，此时$40-m=10$。
【答案】
(1) 甲种纪念品的进价为20元/件，乙种纪念品的进价为30元/件；
(2) 当购进甲种纪念品30件，乙种纪念品10件时总利润最大，总利润最大是220元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，一次函数最值应用
【点评】
本题是实际生活中的进货优化问题，需要从题干中准确提取等量关系和不等关系，分别列方程、不等式求解，再结合一次函数的增减性判断最优方案，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义（为非负整数）。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问求两种纪念品的进价，属于二元一次方程组应用问题，我们可以设甲、乙的进价分别为未知数，根据题目给出的两个“用380元进货”的等量关系列方程组，求解即可得到进价。
(2) 第二问是方案优化求最大利润问题，首先设购进甲种纪念品的数量为自变量，乙的数量用总数量减去甲的数量表示，再根据“进货总费用不超过900元”“总利润不低于216元”两个不等关系列不等式组，求出自变量的取值范围；然后写出总利润关于自变量的一次函数表达式，根据一次函数的增减性，结合自变量的整数取值，就能找到利润最大的进货方案和最大利润。
【解析】
(1) 设甲种纪念品的进价为$x$元/件，乙种纪念品的进价为$y$元/件，根据题意列方程组：
$\begin{cases}7x + 8y = 380 \\10x + 6y = 380\end{cases}$
将第二个方程两边同乘4，第一个方程两边同乘3，得：
$\begin{cases}21x + 24y = 1140 \\40x + 24y = 1520\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$y$，得$19x=380$，解得$x=20$。
把$x=20$代入$7x+8y=380$，得$7×20 +8y=380$，解得$y=30$。
(2) 设购进甲种纪念品$m$件，则购进乙种纪念品$(40-m)$件，总利润为$W$元。
根据进货总费用不超过900元，得：
$20m + 30(40 - m) ≤ 900$
解得：$m≥30$
根据总利润不低于216元，甲每件利润为$25-20=5$元，乙每件利润为$37-30=7$元，得：
$5m +7(40 - m) ≥ 216$
解得：$m≤32$
综上$m$的取值范围为$30≤ m≤32$，且$m$为正整数，即$m$可取30、31、32。
总利润$W=5m +7(40 - m) = -2m +280$，
$\because$一次函数$W=-2m+280$中$k=-2＜0$，$\therefore W$随$m$的增大而减小，
$\therefore$当$m=30$时，$W$取得最大值，最大值为$W=-2×30 +280=220$，此时$40-m=10$。
【答案】
(1) 甲种纪念品的进价为20元/件，乙种纪念品的进价为30元/件；
(2) 当购进甲种纪念品30件，乙种纪念品10件时总利润最大，总利润最大是220元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，一次函数最值应用
【点评】
本题是实际生活中的进货优化问题，需要从题干中准确提取等量关系和不等关系，分别列方程、不等式求解，再结合一次函数的增减性判断最优方案，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义（为非负整数）。
【难度系数】
0.65
