12.已知点$P(2a,1-3a)$在第二象限，且点$P$到$x$轴的距离与到$y$轴的距离之和为6，则$a$的值为（）

A.$-1$
B.$1$
C.$5$
D.$3$

12.A

【分析】
解题时首先回忆第二象限内点的坐标符号特征：横坐标为负，纵坐标为正，据此可以确定2a和1-3a的正负性；再明确点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，结合两个距离之和为6的条件，去掉绝对值后列一元一次方程求解，最后验证解是否符合点在第二象限的要求即可。
【解析】
解：
∵点$P(2a,1-3a)$在第二象限
∴横坐标小于0，纵坐标大于0，即$\begin{cases}2a＜0 \\1-3a＞0 \end{cases}$
点P到x轴的距离为$|1-3a|$，到y轴的距离为$|2a|$，由题意得：
$|1-3a| + |2a| =6$
∵$2a＜0$，$1-3a＞0$
∴$|2a|=-2a$，$|1-3a|=1-3a$，代入方程得：
$1-3a -2a =6$
合并同类项得：$1-5a=6$
移项得：$-5a=5$
解得：$a=-1$
验证：当$a=-1$时，$2a=-2＜0$，$1-3a=4＞0$，符合点P在第二象限的条件，故$a=-1$成立。
【答案】
A
【知识点】
象限内点的坐标特征；点到坐标轴的距离；绝对值化简
【点评】
本题是平面直角坐标系和方程结合的基础题型，解题核心是先根据点所在象限确定横纵坐标的符号，正确化简绝对值后列方程求解，求出结果后要注意验证是否符合点所在象限的取值要求，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7

13.在平面直角坐标系中,对于点$P(x,y)$,我们把$P_1(y-1,-x-1)$叫做点$P$的友好点.已知点$A_1$的友好点为$A_2$,点$A_2$的友好点为$A_3$,点$A_3$的友好点为$A_4$,这样依次得到各点.若点$A_1$的坐标为$(1,2)$,则点$A_{2024}$的友好点的坐标是 ()

A.$(-3,2)$
B.$(1,2)$
C.$(-5,-2)$
D.$(-3,4)$

13.B

【分析】首先理解“友好点”的定义，已知$A_1$的坐标，我们可以依次计算出前几个点的坐标，观察坐标变化规律，发现坐标是周期循环出现的，先确定循环周期，再根据周期计算$A_{2024}$对应的坐标，最后计算它的友好点坐标即可。
【解析】已知友好点的变换规则：对于点$P(x,y)$，友好点为$P_1(y-1,-x-1)$。
已知$A_1$坐标为$(1,2)$：
1. 计算$A_2$：$A_2$是$A_1$的友好点，代入得$A_2=(2-1,-1-1)=(1,-2)$
2. 计算$A_3$：$A_3$是$A_2$的友好点，代入得$A_3=(-2-1,-1-1)=(-3,-2)$
3. 计算$A_4$：$A_4$是$A_3$的友好点，代入得$A_4=(-2-1,-(-3)-1)=(-3,2)$
4. 计算$A_5$：$A_5$是$A_4$的友好点，代入得$A_5=(2-1,-(-3)-1)=(1,2)=A_1$
由此可得，点的坐标每4个为一个循环周期，即每4次变换后坐标回到$A_1$的坐标。
计算$2024÷4=506$，余数为0，说明$A_{2024}$的坐标和$A_4$相同，即$A_{2024}=(-3,2)$。
题目要求$A_{2024}$的友好点，也就是$A_{2025}$：计算$2025÷4=506······1$，余数为1，所以$A_{2025}$的坐标和$A_1$相同，为$(1,2)$。
【答案】B
【知识点】新定义运算，点的坐标规律，周期问题
【点评】本题属于新定义类题型，解题关键是准确理解友好点的变换规则，通过计算前几个点的坐标找到循环周期，再利用周期规律求解即可，注意题目最终求的是$A_{2024}$的友好点，不要误选$A_{2024}$本身的坐标。
【难度系数】0.7

14.如果点$ P(a+b,ab) $在第二象限，那么点$ Q(a,-b) $在第象限.

14.二

【分析】
解题时首先要明确第二象限点的坐标符号特征：横坐标小于0，纵坐标大于0。先根据点P在第二象限列出关于a、b的不等式组，结合有理数乘法、加法的符号规律判断出a、b的正负性，再推导点Q横、纵坐标的符号，最后对应象限的坐标特征即可确定点Q所在的象限。
【解析】
∵点$P(a+b,ab)$在第二象限，
∴根据第二象限点的坐标特征可得：$\begin{cases}a + b ＜ 0 \\ ab ＞ 0\end{cases}$，
由$ab＞0$可知a、b同号，
又
∵$a + b ＜ 0$，
∴a、b均为负数，即$a＜0$，$b＜0$，
∴$-b＞0$，
∴点$Q(a,-b)$的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征，
∴点Q在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
象限内点的坐标特征、有理数运算符号规律
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，将象限坐标特征和有理数符号判断相结合，解题的核心是先推导a、b的正负性，再判断所求点的坐标符号，只要熟练掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

15.已知点$P(x,y)$，如果$|x|=2$，$|y|=3$，那么点$P$的坐标为。

15.(2,3)或(2,-3)或(-2,3)或(-2,-3)

【分析】
要确定点P的坐标，需先求出x、y的所有可能取值，再组合得到所有符合条件的坐标。首先根据绝对值的性质：若|a|等于正数，则a有两个互为相反数的取值，可分别求出x、y的可能值；再结合点的坐标是有序实数对，将x、y的所有取值两两组合，就能得到点P的所有坐标，注意组合时要做到不重不漏。
【解析】
解：
∵|x|=2，
∴x=2或x=-2；
∵|y|=3，
∴y=3或y=-3。
点P的坐标由(x,y)组成，将x、y的取值两两组合，可得：
当x=2，y=3时，坐标为(2,3)；
当x=2，y=-3时，坐标为(2,-3)；
当x=-2，y=3时，坐标为(-2,3)；
当x=-2，y=-3时，坐标为(-2,-3)。
【答案】
(2,3)或(2,-3)或(-2,3)或(-2,-3)
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 点的坐标概念
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握绝对值的性质，注意x、y都有正负两种取值，组合时不要出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7

16.已知正方形的边长为8，它在平面直角坐标系中的位置如图2所示，其中AD平行于x轴.
(1)写出A,B,C,D四个点的坐标；
(2)将正方形向右平移4个单位长度，直接写出平移后点A的坐标.

16.(1)$A(-4,4),B(-4,-4),C(4,-4),D(4,4)$
(2)$(0,4)$

【分析】
(1) 观察图形可知正方形中心与坐标原点O重合，且AD平行于x轴，因此正方形的边分别平行于x轴和y轴。已知正方形边长为8，可推出各顶点到x轴、y轴的距离均为边长的一半即4，再结合四个点所在的象限，根据各象限内点的坐标符号特征就能写出四个点的坐标。(2) 点的平移遵循“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”的规律，向右平移4个单位，只需将原A点的横坐标加4，纵坐标保持不变，即可得到平移后的坐标。
【解析】
(1)
∵正方形边长为8，中心与原点O重合，AD平行于x轴，
∴正方形的边分别平行于x轴、y轴，各顶点到x轴、y轴的距离均为$8÷2=4$。
结合各象限点的坐标符号特征：
A在第二象限，横负纵正，即$A(-4,4)$；
B在第三象限，横负纵负，即$B(-4,-4)$；
C在第四象限，横正纵负，即$C(4,-4)$；
D在第一象限，横正纵正，即$D(4,4)$。
(2) 根据点平移的坐标变化规律，向右平移4个单位时横坐标加4，纵坐标不变。
原A点坐标为$(-4,4)$，平移后横坐标为$-4+4=0$，纵坐标为4，即坐标为$(0,4)$。
【答案】
(1)$A(-4,4),B(-4,-4),C(4,-4),D(4,4)$
(2)$(0,4)$
【知识点】
点的坐标特征、点的平移规律、正方形的性质
【点评】
本题是基础题型，解题核心是结合图形和正方形性质确定各点到坐标轴的距离，熟练掌握象限内点的符号特点和平移的坐标变化规则即可快速求解。
【难度系数】
0.85

17.在平面直角坐标系中,已知点Q的坐标为$(2a,3a-1)$.
(1)若点Q在第三象限,且到两坐标轴的距离之和为16,求点Q的坐标;
(2)若点Q到两坐标轴的距离相等,求点Q的坐标.

17.(1)$Q(-6,-10)$
(2)$Q(2,2)$或$(\frac{2}{5},-\frac{2}{5})$

【分析】
(1) 首先明确第三象限内点的坐标特征：横、纵坐标均为负数；点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，结合“到两坐标轴的距离之和为16”列方程求解a的值，再代入计算即可得到点Q的坐标。
(2) 点到两坐标轴的距离相等等价于横、纵坐标的绝对值相等，分“横坐标等于纵坐标”“横坐标与纵坐标互为相反数”两种情况列方程求解，分别计算对应的点坐标即可。
【解析】
(1)
∵点Q在第三象限
∴2a ＜ 0，3a - 1 ＜ 0
∴点Q到y轴的距离为$\vert2a\vert=-2a$，到x轴的距离为$\vert3a-1\vert=1-3a$
根据题意列方程：$-2a + (1 - 3a) = 16$
整理得：$-5a = 15$，解得$a=-3$
代入得：$2a=2×(-3)=-6$，$3a-1=3×(-3)-1=-10$
即点Q的坐标为$(-6,-10)$
(2)
∵点Q到两坐标轴的距离相等
∴$\vert2a\vert=\vert3a-1\vert$，分两种情况讨论：
①当$2a=3a-1$时，解得$a=1$
代入得$2a=2$，$3a-1=2$，此时点Q坐标为$(2,2)$
②当$2a=-(3a-1)$时，整理得$5a=1$，解得$a=\frac{1}{5}$
代入得$2a=\frac{2}{5}$，$3a-1=\frac{3}{5}-1=-\frac{2}{5}$，此时点Q坐标为$(\frac{2}{5},-\frac{2}{5})$
【答案】
(1) $Q(-6,-10)$
(2) $Q(2,2)$或$(\frac{2}{5},-\frac{2}{5})$
【知识点】
象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，绝对值方程求解
【点评】
本题重点考查平面直角坐标系中点的坐标性质，解题核心是掌握点到坐标轴距离的表示方法，第二问求解时需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7

18. 如图3,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别A(-4,4),B(-5,1),C(-1,3),现将△ABC先向右平移6个单位长度,再向下平移5个单位长度,得到△A'B'C'.

(1)直接写出点A',B',C'的坐标;
(2)在平面直角坐标系中画出△A'B'C';
(3)求在平移过程中,线段BC扫过的面积.

18.(1)$A'(2,-1),B'(1,-4),C'(5,-2).$
(2)略
(3)32

【分析】
(1) 根据平移中点的坐标变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减，将三个顶点坐标分别按右移6个单位、下移5个单位的规则计算，即可得到平移后对应点的坐标；
(2) 按照求出的A'、B'、C'的坐标在坐标系中描点，再顺次连接三个点即可得到平移后的三角形；
(3) 线段BC平移过程中，先后扫过两个平行四边形，分别求出两个平行四边形的面积求和，就是线段BC扫过的总面积。
【解析】
(1) 平移规则：横坐标加6，纵坐标减5。
点A(-4,4)平移后：横坐标=-4+6=2，纵坐标=4-5=-1，得A'(2,-1)；
点B(-5,1)平移后：横坐标=-5+6=1，纵坐标=1-5=-4，得B'(1,-4)；
点C(-1,3)平移后：横坐标=-1+6=5，纵坐标=3-5=-2，得C'(5,-2)。
(2) 在平面直角坐标系中描出A'(2,-1)、B'(1,-4)、C'(5,-2)三个点，依次连接A'B'、B'C'、C'A'，即可得到△A'B'C'（画图略）。
(3) 线段BC扫过的面积为两次平移形成的平行四边形面积之和：
① 向右平移6个单位时，形成的平行四边形底长为6，高为B、C两点的纵坐标差：3-1=2，面积$S_1=6×2=12$；
② 向下平移5个单位时，形成的平行四边形高为5，底为B、C两点的横坐标差：$-1-(-5)=4$，面积$S_2=4×5=20$；
总扫过面积$S=S_1+S_2=12+20=32$。
【答案】
(1)$A'(2,-1),B'(1,-4),C'(5,-2)$
(2)略
(3)32
【知识点】
坐标平移规律，平行四边形面积计算
【点评】
本题围绕图形平移设置问题，既考查了平移后点的坐标计算、平移作图等基础内容，也考查了平移过程中扫过面积的计算，需要熟练掌握平移的坐标变化规则，能准确判断线段平移扫过的图形形状，是平移知识的常规综合应用题。
【难度系数】
0.65